2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程表示圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知点，到直线的距离相等，则( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
4.已知正方体的棱长为，若存在空间一点，满足，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.在中，点，点，点满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若经过点且半径大于的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆与圆的交点为，，则( )
A. 线段的垂直平分线的方程为
B. 线段所在直线方程为
C. 线段的长为
D. 在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆
10.如图，在平行六面体中，所有的棱长都是，，分别是，的中点，，则下列说法中正确的是( )
A. 与平面相交
B. 平面
C.
D.
11.已知实数，满足方程，则( )
A. 的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与射线相交，则的倾斜角的取值范围是______．
13.如图，二面角的大小为，棱上有，两点，线段半平面，，线段半平面，若，，，则线段的长为______．
14.已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点为、，当时，
的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为．
求直线的方程和点的坐标；
求的面积．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．
证明：平面；
若，，，求点到平面的距离．
17.本小题分
已知圆：，直线与圆相交于，两点，且．
求直线的方程；
已知点，，，点是圆上任意一点，点在线段上，且存在常数使得，求点到直线距离的最小值．
18.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
19.本小题分
已知动直线：过定点．
求的坐标；
若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：的周长为；的面积为若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程．
参考答案
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14.
15.解：由点在上，设点的坐标是，
则的中点在直线上，
而直线的方程为：，
于是，解得，
即点，
设关于直线的对称点为，
则有，解得，
即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，
即，
由，解得，
则点，
所以直线的方程为，
点的坐标为；
由得，
点到直线的距离，
所以的面积．
16.证明：因为为直三棱柱，所以，
又，分别为，的中点，所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
解：因为为直三棱柱，且，
则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，且，
则，，，，
则，，
由，可得，
即，且，解得，
设，则，
即，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又，即，
所以点到平面的距离．
17.解：由圆：，得圆心，半径，
直线与圆相交于，两点，且，
圆心到直线的距离，
又，，解得，
直线的方程为；
设，，则，，，
，，即．
又点在线段上，即共线，而，，
，得，
点是圆上任意一点，，
将，代入上式，可得，即．
即点在以为圆心，半径为的圆上．
圆心到直线的距离，．
点到直线距离的最小值为．
18.解：在四棱锥中，底面为矩形，
底面，易得，，两两相互垂直，
易得平面，平面平面，
又，为上一点，
且，，，
，
，又，，
；
若为的中点，分别延长，交点，
底面，过作于点，连接，
则根据三垂线定理可得为二面角的补角，
又，底面为矩形，且由知，
为等腰直角三角形，，
，
，
二面角的余弦值为；
过作于点，由知平面平面，
平面，又根据新定义可知，
又，，
，，，，
，
，，
过作，且，在上取靠近的五等分点，
，
则易知，且，，
，且，
四边形为平行四边形，，又平面，
平面，
又，，
．
19.解：直线的方程可化为，
由，解得，所以直线过定点．
由题意，设直线的方程为，
将代入得
由、，的周长为，面积为，得，
令，则，
所以，即，化简得，解得，
所以，解得或．
其中不满足，满足．
所以存在直线的方程为，即满足条件．
由可知直线过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，
所以直线的倾斜角，
所以，，
所以，
令，
因为，所以，
所以
所以．
则
因为在上为减函数，所以在上为增函数，
所以当，即时，取得最小值．
此时直线的方程为，即．
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