专题突破四：二次函数性质综合（20道）
【压轴题专练】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值；
(3)已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围．
2．已知以轴为对称轴的抛物线过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平面上有一个，点在抛物线上，若点，求周长的最小值；
(3)直线与抛物线交于D，E两点，过点的直线与抛物线的另一个交点为，求证：直线过定点．
3．已知二次函数．
(1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；
(2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标．
4．已知二次函数．
(1)若其图象经过点，求此二次函数的表达式；
(2)当时，随的增大而增大，则的取值范围是______；
(3)点是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系．
5．已知二次函数的图象经过原点和点，其中．
(1)当时．
①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？
②当和时，函数值相等，求的值．
(2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值．
6．已知二次函数（是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值；
(3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围．
7．在平面直角坐标系中．已知抛物线的对称轴是直线．
(1)用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴相交于点A、B，且线段，求a的值；
(3)若抛物线与x轴的一个交点为，且当时，y的取值范围是，结合函数图象，求满足条件的m，n的值．
8．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点．
(1)若点在抛物线上，求的值；
(2)当点到轴的距离是时，求的值；
(3)在（2）的条件下，且取有理数时，将抛物线绕点旋转得到抛物线，设与轴交于两点（点在点的左侧），求长度．
9．在直角坐标平面中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点；把抛物线向下平移得到抛物线，设的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P与点A重合时，求平移的距离；
(3)如果与互补，求此时点D的坐标．
10．已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
(1)直接写出抛物线G的顶点坐标；
(2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
12．抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)求面积的最大值；
(3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值．
13．在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若，且二次函数过和．
①求二次函数的解析式；
②当时，求的取值范围；
(2)现有另一函数，若函数的图象顶点在函数的图象上，函数的图象顶点在函数的图象上，且，求a与d的数量关系；
(3)若顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，在函数图象上有三个点，，，当时，直接写出m的取值范围为______．
14．在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若函数的图象经过和两点，函数的对称轴为直线______
(2)若，将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好只有一个交点，求的最小值．
(3)若函数与x轴交于和，当时，求证：．
15．抛物线与x轴交干A、B两点，点A在点B的左侧，C是抛物线的顶点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若抛物线上有一点P，且，则这样的点P有几个？试求出它们的坐标．
16．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为．
(1)求，和的值；
(2)若直线经过点，求的值；
(3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的顶点为P．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)将抛物线绕旋转，得新抛物线，抛物线的顶点为，与轴交于两点（在的左侧），此时在抛物线上，当时，抛物线最低点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
(3)当时，不管取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在轴的上方，求的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)若抛物线经过点，求a的值；
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围．
19．已知关于x的函数，其中k为实数．
(1)若函数经过点，求k的值；
(2)若函数图像经过点，，试说明：
(3)已知函数，当时，都有恒成立，求k的取值范围．
20．已知抛物线 经过点 ，请解决下列问题：
(1)点，分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值．
(2)当时，
求的取值范围．
若，求 的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题突破四：二次函数性质综合（20道）
【压轴题专练】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值；
(3)已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求即可；
（2）根据二次函数的图象的顶点坐标为，分两种情况求解①当时和②当时，分别求出其最大值和最小值，再根据其差值为8即可求出t的值；
（3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定m的范围即可．
【详解】（1）解：由题意知二次函数的图象的顶点坐标为．
设该二次函数的解析式为．
把点代入，得，
解得，
∴该二次函数的解析式为
（2）由题意知二次函数的图象的顶点坐标为．
①当时，二次函数的最小值为，最大值为，
∴，此时方程无实数解；
②当时，二次函数的最小值为．
∴当时，该二次函数最大值与最小值的差是8，
∴该二次函数最大值为．
∵时，
∴时，，
即，解得（舍去）或，
∴当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，t的值为
（3）由题意知，该二次函数的大致图象如图所示．
当时，，此时点M的坐标为．
由图知当时，交点只有一个．
∵，
∴当时，图中也符合只有一个交点，
∴该二次函数的图象与线段只有一个公共点时，m的取值范围为或
2．已知以轴为对称轴的抛物线过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平面上有一个，点在抛物线上，若点，求周长的最小值；
(3)直线与抛物线交于D，E两点，过点的直线与抛物线的另一个交点为，求证：直线过定点．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为y轴，则；再用待定系数法求出系数a与c即可；
（2）设，过点B作垂直x轴于点P，过点C作垂直轴于点，由勾股定理求得，则，从而得最小值；
（3）联立与抛物线抛物线解析式，得，由一元二次方程根与系数关系得：；联立与抛物线解析式，消去y得到一元二次方程，得；得：；设直线EF的解析式为，与抛物线解析式联立并整理得：，；最后可得，直线的解析式为，由此可得直线所过的定点．
【详解】（1）解：抛物线以y轴为对称轴，
∴b=0，
∵抛物线过，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，过点B作垂直x轴于点P，过点C作垂直轴于点，如图；
，
，
，
周长的最小值为；
（3）证明：与二次函数的图象交于D，E两点，
，
，
，
∵过点的直线交二次函数的图象于点，
，
，
，
得：，
设直线EF的解析式为，
联立得：，
即，
，
由②得：，代入④⑤，得：，
即，
，
，得：，即，
⑦代入⑧，得：，
，
直线的解析式为，
直线一定经过定点．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象与性质，勾股定理，垂线段最短，一元二次方程根与系数的关系等知识，掌握这些知识是关键．
3．已知二次函数．
(1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；
(2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键．
（1）证明判别式大于0，即可得出结论；
（2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；
（2）解：∵该函数图象的对称轴是直线，
∴对称轴为直线
∴
∴
∴当时，
∴该函数的图象与轴的交点坐标为．
4．已知二次函数．
(1)若其图象经过点，求此二次函数的表达式；
(2)当时，随的增大而增大，则的取值范围是______；
(3)点是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系．
【答案】(1)；
(2)
(3)时，；时，；时，．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先判断出，根据对称轴，据此求解即可；
（3）求出，根据的取值进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：；
（3）解：∵点是函数图象上两个点，
∴，
∴
，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴当时，；
当，；
当时，．
5．已知二次函数的图象经过原点和点，其中．
(1)当时．
①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？
②当和时，函数值相等，求的值．
(2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值．
【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；②
(2)，
【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题；
②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解；
（2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解．
【详解】（1）①解：当时，则，
把和分别代入可得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为： ，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；
②解：当和时，函数值相等，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴的值为；
（2）∵二次函数的图象经过原点，
∴，
∴二次函数，
∴对称轴为直线，
∵二次函数过点和，
∴，
当时，对称轴，
∵，
∴时，有最大值，
整理可得：，
∴或，
∵，
∴，
∴，
当时，对称轴，
∵，
∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值，
即，
解得：，
∴，
∴，
综上，，．
6．已知二次函数（是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值；
(3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)1或8
(3)
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可解答；
（2）先根据函数顶点在轴上，结合，求出，得到二次函数表达式，进而得到二次函数图象的对称轴为，且开口向下，再根据二次函数的性质，分，，三种情况讨论即可；
（3）由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下，根据，则有，求解即可．
【详解】（1）解：，
函数顶点坐标为；
（2）解：函数顶点在轴上，
，
解得：或，
，
，
二次函数表达式为：，
，
二次函数图象的对称轴为，且开口向下，
时，函数最大值为，
当时，，
则时，函数有最大值，
即，
解得：（舍去）；
当时，
则时，函数有最大值，
即，
解得：（舍去）；
当时，函数最大值为0，不符合题意；
综上，的值为1或8；
（3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下，
二次函数图象上的两点，，时，始终有成立，
∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离，
，即，
，即，
，
，
，即，
，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中．已知抛物线的对称轴是直线．
(1)用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴相交于点A、B，且线段，求a的值；
(3)若抛物线与x轴的一个交点为，且当时，y的取值范围是，结合函数图象，求满足条件的m，n的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)，或，
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质，
对于（1），根据可得a，b的关系，再将代入关系式即可；
对于（2），根据抛物线对称轴为，A、B两点关于对称轴对称，且，
可求出点A的坐标，再代入关系式得出答案；
对于（3），先求出函数关系式，再结合自变量，函数的范围讨论得出答案.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴抛物线为.
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为：．
答：；抛物线的顶点坐标为：；
（2）∵抛物线对称轴为，A、B两点关于对称轴对称，且，
∴，
将A点代入，
解得；
（3）抛物线与x轴的一个交点为，代入得，
∴，
∴抛物线为.
∵当时，y的取值范围是，
令得：，
解得（舍）或，
∴；
∵由自变量的最小值为m与函数值的最小值也为m，由得
，
∴或，
此时顶点包含在范围内，不符合要求，故舍去；
故满足条件的m，n的值为：；或．
8．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点．
(1)若点在抛物线上，求的值；
(2)当点到轴的距离是时，求的值；
(3)在（2）的条件下，且取有理数时，将抛物线绕点旋转得到抛物线，设与轴交于两点（点在点的左侧），求长度．
【答案】(1)
(2)或或
(3)1
【分析】（1）直接将点P的坐标代入解析式即可求解；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，进而根据题意即可求得的值；
（3）根据取有理数可得的值，进而抛物线的解析式，再根据旋转得出抛物线的解析式，求出与轴的交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
；
（2）解：，
，
，或，
解得或或；
（3）解：存在，理由如下，
依题意，m为有理数，
，抛物线解析式为，
令，解得，
，
抛物线绕点旋转得到抛物线，与轴交于两点（点在点的左侧），
与大小形状相同，顶点坐标相同为，开口向下，
解析式为，
令，
解得，，
，，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，将二次函数一般式化为顶点式，抛物线的旋转，抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．在直角坐标平面中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点；把抛物线向下平移得到抛物线，设的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P与点A重合时，求平移的距离；
(3)如果与互补，求此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）将点代入抛物线上，得到关于的二元一次方程组，求解即可；
（2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可得抛物线的表达式为，继而得到，
，最后由得，即可得解；
（3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解．
【详解】（1）解：∵点和点在抛物线上．
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，顶点，
把抛物线向下平移得到抛物线，
当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点，
∴抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点为，
，
对于抛物线，
当时，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
∴当点与点重合时，平移的距离是3；
（3）解：连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，
∵，对称轴为直线，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点和点，
当时，得，
解得：或，
，
，
，
∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，
，
∵对称轴与轴平行，即，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
∵轴，
∴轴，
，
，
与互补，即，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与坐标轴的交点问题：
（1）抛物线的对称轴为直线，由此求出m的值，代入解析式即可；
（2）先列出抛物线平移后的解析式，抛物线的图象与轴只有一个公共点时，对应的一元二次方程，由此可解．
【详解】（1）解：
该抛物线的对称轴为直线，
，
解得．
该抛物线的解析式为：，
即．
（2）解：设该抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点，则平移后抛物线的解析式为：，
它与轴只有一个公共点，
，
解得，
将抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点．
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
(1)直接写出抛物线G的顶点坐标；
(2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换．
（1）把抛物线解析式化成顶点式即可求解；
（2）根据二次函数开口向上时点到对称轴的距离越远值越大可得的取值范围；
（3）根据题意先求出点、、的坐标，然后再根据抛物线G与线段恰有一个公共点分情况讨论计算即可求的取值范围．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点为；
（2）解：抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
∵开口向上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远值越大，
∵在抛物线G上有两点，，且，
∴，即，
当时，，则，解得，此时；
当时，，则，解得，此时；
的取值范围是或；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴交于点，
点的坐标为．
点与点关于轴对称，
点的坐标为．
点右移3个单位得到点，
点的坐标为．
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴当抛物线与直线只有一个交点时，则，解得，此时交点刚好是点，在线段上；
当抛物线与直线有两个交点分别为点，（点在点右边），，解得，
当只有点在线段上时，如图，
∴当时，，
当时，，
解得；
当只有点在线段上时，如图，
∴当时，，
当时，，
不等式组无解；
把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，也在线段上，即抛物线与线段有两个交点；
把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，不在线段上，抛物线与线段有一个公共点；
综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时可得：或．
12．抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)求面积的最大值；
(3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求先求出，，过P作轴于F，则点F坐标为，再根据表示出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，证明，得到．进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把点、代入解析式得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∴点E的坐标为，
在中，当时，，则，
由题意得，点P的坐标为，
过P作轴于F，则点F坐标为．
∴
，
∵，
当时，面积的最大值为．
（3）解：由题意可知，点Q的横坐标为1，
如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得
∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去，
∴．
13．在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若，且二次函数过和．
①求二次函数的解析式；
②当时，求的取值范围；
(2)现有另一函数，若函数的图象顶点在函数的图象上，函数的图象顶点在函数的图象上，且，求a与d的数量关系；
(3)若顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，在函数图象上有三个点，，，当时，直接写出m的取值范围为______．
【答案】(1)①；②当时，求的取值范围为；
(2)
(3)
【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；
②先求得二次函数的最小值，再求得当和时，的值，据此求解即可；
（2）先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据，即可得到答案；
（3）先根据函数图象上有三个点，，，，确定二次函数的开口方向，及对称轴范围，再根据顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，利用对称性确定的范围．
【详解】（1）解：①由题意得，
∵二次函数过和，
∴，解得，
∴；
②，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
当时，，
∴当时，求的取值范围为；
（2）解：根据题意可得：
二次函数的顶点坐标为：，
二次函数的顶点坐标为：，
函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，
，，
整理得：
，，
，，
得：，
，
，
，
，
，即
，
（3）解：函数图象上有三个点，，，且，
即在上，随x的增大，先减小后增大，
函数的图象开口向上，
函数图象的顶点在上，且顶点坐标为，
函数图象的对称轴为，
，
函数图象的对称轴在y轴左侧，即，
，
，即，
，
函数的顶点为，即在函数的图象上，
，
，即，
，即，
，即，
函数图象过点，且函数的顶点坐标再y轴左侧，
令函数，
解得：，
，，
，且，
，即，
，即，
，即，
，
，
，
综上，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，二次函数的顶点坐标公式，二次函数与不等式，利用数形结合解决问题是关键．
14．在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若函数的图象经过和两点，函数的对称轴为直线______
(2)若，将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好只有一个交点，求的最小值．
(3)若函数与x轴交于和，当时，求证：．
【答案】(1)
(2)4
(3)见解析
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）运用二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴；
（2）根据平移后的势力的线与x轴恰好只有一个交点，得，即，，代入得，配方后可求出最小值；
（3）令，得，根据一元二次方程根与系数的关系得，，由得，，再代入可得结论．
【详解】（1）解：∵函数的图象经过和两点，
∴函数的对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：当时，，
函数向下平移２个单位得，此时该函数与x轴恰好只有一个交点，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值为，
∴的最小值为4；
（3）证明：对于，当时，，
∵函数与x轴交于和，
∴是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴
解得，，
∵，
∴，
又
∴，
∴整理得，．
15．抛物线与x轴交干A、B两点，点A在点B的左侧，C是抛物线的顶点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若抛物线上有一点P，且，则这样的点P有几个？试求出它们的坐标．
【答案】(1)，，
(2)3个；，，
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数面积综合题等知识．
（1）令，解出，，即可得出点A和点B的坐标，根据对称轴直线可求出点C的横坐标， 把点C的横坐标代入二次函数解析式即可得出点C的纵坐标．
（2）可根据列出等量关系，得出，然后分当点P在x轴上方和下方时，分别求出点P的纵坐标即可．
【详解】（1）解：令，有：，
解得：，，
∴，．
对称轴直线为：．
∴．
∴．
（2）解：满足条件的点P有3个；
根据题意有：，
由（1）知：二次函数解析式为：，．
∴满足时．，
设，
当点P在x轴上方时，，
令，
解得：，
点P在x轴下方时，，
令，
解得，；
∴满足条件的所有点P的坐标为，，
16．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为．
(1)求，和的值；
(2)若直线经过点，求的值；
(3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)当或时，直线与有公共点．
【分析】考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
（1）根据和的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可求出，和的值；
（2）先求出点，进而代入一次函数即可得解；
（3）当直线与有公共点时，可以分别计算直线经过点和时的的值，根据图象可得结论．
【详解】（1）解：∵ 抛物线过点，，
∴抛物线的对称轴．
∵抛物线最低点的纵坐标为，
∴抛物线的顶点是．
∴抛物线的表达式是，即．
∴，，
把代入抛物线表达式，
求得；
（2）解：由（）得，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得；
（3）解：如图，
当经过点时，得，，
当经过点时， ，，
综上所述，当或时，直线与有公共点．
17．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的顶点为P．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)将抛物线绕旋转，得新抛物线，抛物线的顶点为，与轴交于两点（在的左侧），此时在抛物线上，当时，抛物线最低点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
(3)当时，不管取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在轴的上方，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线
(2)抛物线的解析式为
(3)
【分析】（1）将点代入抛物线得出，即可求解；
（2）由题可得抛物线的顶点坐标为，根据对称得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，把代入可得，然后利用二次函数的增减性解题即可；
（3）分为当抛物线与轴没有交点或只有一个交点时，和当抛物线与轴有两个不同交点时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，
得，
解得：，
故抛物线的对称轴为直线．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，这时，纵坐标为，
即抛物线的顶点坐标为，
又∵抛物线绕点旋转，得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
代入可得，
∵，在对称轴左边，随的增大而减小，
即当时，最低点的纵坐标为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：当时，抛物线为，，
∵不管取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在轴的上方，
当抛物线与轴没有交点或只有一个交点时，符合题意．
，
，
，
，
；
当抛物线与轴有两个不同交点时，
，解得：．
设两个交点的横坐标为，
∴当时，点，，中至少有两个点在轴的上方，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质等知识点，能根据二次函数的图像和性质求出二次函数的顶点坐标是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)若抛物线经过点，求a的值；
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，代入函数解析式，经过化简得到，再根据即可求得答案；
（3）由（2）知，抛物线图象开口向上，对称轴为，由，结合点，是抛物线上两个不同点，可得，两点关于直线对称，即轴，易得，根据，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意：，即，
解得：；
（2）解：设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，
代入解析式可得：．
∴两式相加可得：
∴，
∵，
∴，
同号，
当
解得：，
当，
解得，不等式组无解，
；
（3）解：由（2）知，
抛物线图象开口向上，对称轴为，
，即，且，是抛物线上两个不同点，
，两点关于直线对称，
轴，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与不等式熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
19．已知关于x的函数，其中k为实数．
(1)若函数经过点，求k的值；
(2)若函数图像经过点，，试说明：
(3)已知函数，当时，都有恒成立，求k的取值范围．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握恒成立问题转化为最值问题时解决本题的关键．
（1）将代入得到关于的方程，解方程即可；
（2）将点，代入，则，即可求证；
（3）当时，都有恒成立转化为恒成立，，令，即当时，恒成立，即成立即可，分类讨论，，利用函数的增减性进行分析即可．
【详解】（1）解：若函数经过点，
将代入
得：，
解得：；
（2）解：∵函数图像经过点，，
∴将点，代入
得：，
，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当时，都有恒成立转化为恒成立，
∴，
令，即当时，恒成立，
①当时，在范围内恒成立，故符合题意；
②当时，可求对称轴为直线，
当时，由于，
∴在范围内，随着的增大而增大，
故在范围内成立即可，
∴当时，，
解得：，
∴；
当时，由于，
∴在范围内，随着的增大而减小，
故在范围内成立即可，
∴当时，，
解得：，
∴，
综上所述，．
20．已知抛物线 经过点 ，请解决下列问题：
(1)点，分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值．
(2)当时，
求的取值范围．
若，求 的值．
【答案】(1)；
(2) 或
【分析】（1）根据题意，结合对称轴可求出的值，进而得到抛物线的解析式，最后将点代入解析式即可求解；
（2）点代入抛物线中得到，结合即可求解；
根据题意，当时，；若，即时，，根据可求出的值；若，即时，，根据可求出的值．
【详解】（1）解：对称轴，
，
又，
，
，
抛物线经过点，
；
（2）解：当时，，
，
当时，，
当时，，
；
，
当时，，
若，即时，
，
则，
解得：，（舍去），
若，即时，
，
则，
解得：（舍去），，
综上所述，或．
【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、最值问题、解一元一次不等式以及解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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