26.2.2二次函数的图像和性质（二）八大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：用配方法求顶点
【经典例题1】用配方法将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（ ）
A．， B．，5 C．4， D．，
【变式训练1-2】抛物线的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．图象与轴没有交点
D．顶点坐标为
【变式训练1-4】如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【变式训练1-5】已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为 ．
题型二：画二次函数图像
【经典例题2】已知二次函数．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
(3)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
(4)结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围．
【变式训练2-1】画抛物线
(1)列表如图；
x … …
y … …
(2)在坐标系中画出此抛物线.
【变式训练2-2】二次函数的表达式为．
(1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
其中 ， ；
(2)顶点坐标 ；
(3)对称轴 ．当 时，y有最 值（填大或小）是 ；
(4)x 时，y随x的增大而减少；
(5)根据图像回答：在时，函数的最小值是 ．
【变式训练2-3】已知函数
(1)指出函数图象的对称轴 ，顶点坐标 ．
(2)写出与x轴的交点坐标 ，与y的交点坐标 ．并画出草图．
(3)当时，写出y的取值范围 ．
(4)当时，写出x的取值范围 ．
【变式训练2-4】已知二次函数．
(1)在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）
… …
… …
利用函数图象回答下列问题：
(2)当______时，随的增大而增大；
(3)当满足______时，；
(4)当时，函数的取值范围为______；
(5)若有两个不相等的实数根，的取值范围为______．
【变式训练2-5】已知抛物线．
(1)抛物线的开口方向_________（填“向上”或“向下”），顶点是_________，对称轴是_________．
(2)选取适当的数据填入下表，在平面直角坐标系内描点，并画出抛物线的图象．
(3)请运用轴对称的知识，求出抛物线关于轴对称的抛物线的函数解析式．
题型三：的图像与性质
【经典例题3】已知二次函数，下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练3-1】已知是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点；
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
【变式训练3-2】抛物线的顶点一定不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式训练3-3】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练3-4】已知点，均在抛物线上，则下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练3-5】已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的取值范围是 ．
题型四：从表格中得出二次函数的性质
【经典例题4】二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
根据表格中的信息，以下结论正确的是（ ）
A．当时，有最大值．
B．当时，随的增大而减小
C．关于的一元二次方程的根为，
D．若，则
【变式训练4-1】用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
从表中信息可得值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】小睿同学画二次函数的图象，列出表格如表，他发现有一组对应值计算有误（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】小英在用“描点法”探究二次函数性质时，画出了以下表格，不幸的是，部分数据已经遗忘（如下表所示），小英只记得遗忘的三个数中（如M，R，A所示），有两个数相同．根据以上信息，小英探究的二次函数解析式可能是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … M R A …
A． B．
C． D．
【变式训练4-4】小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 4 2 …
A． B． C． D．
【变式训练4-5】以下是小明画二次函数图像时所列的表格：
x … -4 -3 -2 0 2 …
y … 3 0 -1 3 15 …
若点，是该二次函数图像上的两点，则 ．（填“>”、“<”、 “=”）
【变式训练4-6】已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数的图象开口向下；
②二次函数可改写为的形式；
③关于x的一元二次方程的两个根为0或2；
④若，则．
其中所有正确的结论为 ．
题型五：二次函数图与各项系数符号
【经典例题5】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【变式训练5-1】如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练5-2】抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．1个 C．3个 D．2个
【变式训练5-3】抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练5-4】如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论是 ．
【变式训练5-5】如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论是 ．
题型六：一次函数与二次函数的综合判断
【经典例题6】在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-1】函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-4】二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
题型七：反比例函数与二次函数的综合判断
【经典例题7】二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练7-2】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练7-3】已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-4】已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练7-5】已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-6】二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：二次函数性质的综合
【经典例题8】在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
(1)直接写出抛物线G的顶点坐标；
(2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
【变式训练8-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为______；
(2)当时求抛物线最大值（用含a的字母表示）
(3)若当时，的最小值是，求当时，的最大值；
【变式训练8-2】已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标．
(2)若该抛物线与x轴交于和两点（其中．
①若，求a的值；
②若，求a的取值范围．
【变式训练8-3】已知二次函数（a为常数，）．
(1)该函数图象的对称轴是直线________；
(2)若，当时，求函数值y的取值范围；
(3)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
【变式训练8-4】已知抛物线，
(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；
(2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系．
【变式训练8-5】在平面直角坐标系中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
(1)当抛物线过点时，求的值；
(2)若，点，在抛物线上，若，求的取值范围；
(3)若点和在抛物线上，若，且，求的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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26.2.2二次函数的图像和性质（二）八大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：用配方法求顶点
【经典例题1】用配方法将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了运用配方法将二次函数一般式化为顶点式，根据题意，将化为顶点式进行比较即可求解．
【详解】解：根据题意，，
故选：A ．
【变式训练1-1】若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（ ）
A．， B．，5 C．4， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与比较可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∴．
故选A．
【变式训练1-2】抛物线的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质．把解析式化为顶点式即可求得答案．
【详解】解：，
对称轴是直线，
故选：B．
【变式训练1-3】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．图象与轴没有交点
D．顶点坐标为
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，先将解析式化为顶点式，求出抛物线的对称轴和顶点坐标，结合抛物线的开口方向和顶点坐标可得出抛物线的增减性以及抛物线与轴的交点情况，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故A选项和D选项不符合题意；
∵，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为，
∴图象与轴有交点，故C选项符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故B选项不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-4】如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式可得，据此可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可判断；把代入函数解析式求出点坐标即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故正确，错误；
令，则，
解得，，
∴，
∴两点之间的距离为，
故正确，不合题意；
故选：．
【变式训练1-5】已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标变成相反数从而得出，，，然后代入代数式计算即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称，
又，
∴函数的解析式为：，
∴，，，
∴，
故答案为：．
题型二：画二次函数图像
【经典例题2】已知二次函数．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
(3)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
(4)结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围．
【答案】(1)
(2)抛物线与x轴交点为，与y轴交点为
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答；
（2）令得一元二次方程求出x的值，可得函数图象与x轴的交点；令，可得y的值，从而可得函数图象与y轴的交点；
（3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象即可；
（4）根据函数图象，可以写出y的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵
∴顶点坐标．
（2）解：令，得，解得，
∴抛物线与x轴交点为；
令，则
∴抛物线与y轴交点为．
（3）解：如图所示．
（4）解：根据图象可得，当时，y的取值范围：．
【变式训练2-1】画抛物线
(1)列表如图；
x … …
y … …
(2)在坐标系中画出此抛物线.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了画二次函数的图象.
（1）根据抛物线的解析式，列表计算即可；
（2）描点，连线，即可画出此抛物线.
【详解】（1）解：列表如下；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 …
（2）解：描点，连线，此抛物线如图，
.
【变式训练2-2】二次函数的表达式为．
(1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
其中 ， ；
(2)顶点坐标 ；
(3)对称轴 ．当 时，y有最 值（填大或小）是 ；
(4)x 时，y随x的增大而减少；
(5)根据图像回答：在时，函数的最小值是 ．
【答案】(1)2，，画图见详解
(2)
(3)，，大，2
(4)
(5)
【分析】本题考查了作二次函数的图象以及图象性质，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）将，，代入即可求出的值，再根据表格描点画图即可作答；
（2）结合（1）的图象，运用数形结合思想进行作答即可；
（3）结合（1）的图象，运用数形结合思想进行作答即可；
（4）结合（1）的图象，运用数形结合思想进行作答即可；
（5）结合（1）的图象，运用数形结合思想进行作答即可．
【详解】（1）解：依题意，当时，；
当时，；
故答案为：2，；
画图如下：
（2）解：根据图象可得，顶点坐标为，
故答案为：；
（3）解：根据图象可得，对称轴为直线．
当时，y有最大值，最大值2，
故答案为：，，大，2；
（4）解：根据图象可得，时，y随x的增大而减少；
（5）解：根据图象可得，在时，函数的最小值是．
【变式训练2-3】已知函数
(1)指出函数图象的对称轴 ，顶点坐标 ．
(2)写出与x轴的交点坐标 ，与y的交点坐标 ．并画出草图．
(3)当时，写出y的取值范围 ．
(4)当时，写出x的取值范围 ．
【答案】(1)直线；
(2)；；图象见解析
(3)
(4)
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）直接根据二次函数的性质解答，即可求解；
（2）分别令，，即可求出与x轴，y轴的交点坐标，即可解答；
（3）分别求出当和时的函数值，即可求解；
（4）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
故答案为：直线；
（2）解：当时，，
解得：，
∴与x轴的交点坐标为；
当时，，
∴与y的交点坐标为；
画出草图如下：
故答案为：；；
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴当时， y的取值范围为；
故答案为：
（4）解：观察图象得：当时， x的取值范围为．
故答案为：
【变式训练2-4】已知二次函数．
(1)在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）
… …
… …
利用函数图象回答下列问题：
(2)当______时，随的增大而增大；
(3)当满足______时，；
(4)当时，函数的取值范围为______；
(5)若有两个不相等的实数根，的取值范围为______．
【答案】(1)画图见解析；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【分析】（）根据画函数图象的步骤即可；
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点：
连线：
如图：
（2）根据图象可知：当时，随的增大而增大，
故答案为：；
（3）根据图象可知：当满足时，，
故答案为：；
（4）当时，根据图象可知当时，有最小值，
∴函数的取值范围为，
故答案为：；
（5）如图，
由有两个不相等的实数根，
即由图象与有两个不同交点，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-5】已知抛物线．
(1)抛物线的开口方向_________（填“向上”或“向下”），顶点是_________，对称轴是_________．
(2)选取适当的数据填入下表，在平面直角坐标系内描点，并画出抛物线的图象．
(3)请运用轴对称的知识，求出抛物线关于轴对称的抛物线的函数解析式．
【答案】(1)向上；；直线
(2)见解析
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得到答案；
（2）选取适当的值，通过解析式求出对应的值，先填表再描点，最后用平滑的曲线连线，即可画出图象；
（3）根据轴对称的性质知，，抛物线的顶点坐标为，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
抛物线的开口方向向上，顶点是，对称轴是直线；
故答案为：向上；；直线；
（2）解：填表如下：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
描点，连线，抛物线如下：
（3）解：由轴对称的性质知，，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为．
题型三：的图像与性质
【经典例题3】已知二次函数，下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题 ．
【详解】二次函数，
该函数图象的开口向下，故正确；
其图象的对称轴为直线，故正确；
其图象顶点坐标为，故错误；
当时，y随x的增大而增大，故正确，
综上所述：共有3个正确，
故选：B．
【变式训练3-1】已知是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点；
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)，抛物线有最低点，
(3)，抛物线有最大值，其最大值为
【分析】（1）根据二次函数的定义求出的值即可解决问题；
（2）运用“当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，据此解答便可；
（3）运用“当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答便可．
本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义列出的不等式组．
【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数
∴，
解得．
当时，原函数是二次函数．
（2）解：根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
，
即，
根据第（1）问得，
∴．
该抛物线的解析式为，
抛物线的最低点为，
故当时，抛物线有最低点，其最低点坐标为，
（3）解：根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
，
即，
根据第（1）问得，
∴．
该抛物线的解析式为，
其函数最大值为，
故当时，抛物线有最大值，其最大值为．
【变式训练3-2】抛物线的顶点一定不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据m的取值范围，分类讨论，即可判断顶点所在的象限．
本题考查了二次函数的性质，坐标轴上点的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴顶点坐标为，
∴当时，，，顶点在第三象限；
当时，，，顶点在第四象限；
当时，，，顶点在第一象限；
综上所述，抛物线的顶点一定不在第二象限．
故选：B．
【变式训练3-3】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可．
【详解】解：根据函数图像可知，当时，，，
结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或，
故选：D．
【变式训练3-4】已知点，均在抛物线上，则下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由抛物线解析式可得出抛物线对称轴直线为y轴，开口向上．然后利用二次函数的图像和性质一一判断即可．
【详解】解：抛物线对称轴直线，
∴抛物线对称轴直线为y轴，开口向上．
．若，则，原说法错误，故该选项不符合题意；
．若，则，原说法错误，故该选项不符合题意；
．若，则y随x的增大而增大，则，原说法错误，故该选项不符合题意；
．若 ，则y随x的增大而减小，则，原说法正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式训练3-5】已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查分段函数的图像与性质，一次函数图像上点的坐标特征，结合图像求出的最大值和最小值是解题的关键．
根据题意可知，当直线经过点时，直线与该图像有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，令的，可得出的最大值是15，最小值是2，进而得到答案．
【详解】解：当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线只有一个交点时，，
整理得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴的最大值是15，最小值是2，
∴直线与该图像有公共点，的取值范围为．
故答案为：．
题型四：从表格中得出二次函数的性质
【经典例题4】二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
根据表格中的信息，以下结论正确的是（ ）
A．当时，有最大值．
B．当时，随的增大而减小
C．关于的一元二次方程的根为，
D．若，则
【答案】C
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
由表格可知当和时，，可得抛物线对称轴为，继而可得再利用表格数据求出函数解析式，画出图象即可判断．
【详解】解：当和时，，
∴抛物线对称轴为，
∴，
∴，
又∵当时，；当时，；
∴解得：
∴函数解析式为：，
画出函数图象如图：
∴当时，有最小值．故A错误；
当时，随的增大而增大，故B错误；
关于的一元二次方程，即的根是，，故C正确；
当时，抛物线与ｘ轴交点为，
∴若，则或，故D不正确．
故选C．
【变式训练4-1】用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
从表中信息可得值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图表表示函数，二次函数的性质，由表格得到二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性即可求解，由表格得到二次函数的对称轴是解题的关键．
【详解】解：由表格可得，时，；时，；
∴二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴当时的函数值等于时的函数值，
∴，
故选：．
【变式训练4-2】小睿同学画二次函数的图象，列出表格如表，他发现有一组对应值计算有误（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线开口向下及抛物线不能同时经过求解即可，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，
而抛物线经过时，抛物线开口向上，不符合题意，
∵抛物线不能同时经过，
∴不在抛物线上，
故选：．
【变式训练4-3】小英在用“描点法”探究二次函数性质时，画出了以下表格，不幸的是，部分数据已经遗忘（如下表所示），小英只记得遗忘的三个数中（如M，R，A所示），有两个数相同．根据以上信息，小英探究的二次函数解析式可能是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … M R A …
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出各选项抛物线的对称轴，根据每两个数相同，分别判断即可得到答案．
【详解】A、的对称轴为直线，
B、的对称轴为直线，
C、的对称轴为直线，
D、的对称轴为直线，
若M与R相同，则抛物线的对称轴为直线，只有B选项符合，
将点，代入解析式，均符合；
若M与A相同，则抛物线的对称轴为直线，没有选项符合；
若R与A相同，则抛物线的对称轴为直线，选项A、D符合，
但将点，代入解析式，却不符合；
∴M与R相同，B选项符合，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，抛物线关于对称轴的对称性，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式训练4-4】小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 4 2 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据列表法画二次函数图象要列出顶点坐标，然后分别讨论四个点错误的情形，即可得到答案．
【详解】解： 如图所示，四个点在坐标系中的分布，
∵用列表法画二次函数图象时要列出顶点坐标，
∴若错，则二次函数对称轴在直线和直线之间，
∴表中的描点没有顶点坐标，故是正确的；
若错，则二次函数对称轴为直线，
∵二次函数开口向上，
∴当时的函数值最小，这与时，函数值为4不是最小矛盾，
∴是正确的，
若错，由于，此时函数开口方向不可能向上，
∴正确；
若错，此时抛物线对称轴为，
∴当时，y随x增大而增大，满足题意，
综上所述，只有是错误的，
故选B．
【点睛】本题主要考查了描点法画二次函数，熟知描点法画二次函数图象是解题的关键．
【变式训练4-5】以下是小明画二次函数图像时所列的表格：
x … -4 -3 -2 0 2 …
y … 3 0 -1 3 15 …
若点，是该二次函数图像上的两点，则 ．（填“>”、“<”、 “=”）
【答案】<
【分析】先根据表格确定对称轴为，及开口方向，再根据点A，B离对称轴的距离可得答案．
【详解】由表格可知当，时，，
可知抛物线的对称轴是，
是最小值，可知抛物线开口向上，
可知点离对称轴越远，函数值越大．
点A离对称轴个单位长度，点B离对称轴个单位长度，
可知点B离对称轴远，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据表格确定抛物线的性质是解题的关键．
【变式训练4-6】已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数的图象开口向下；
②二次函数可改写为的形式；
③关于x的一元二次方程的两个根为0或2；
④若，则．
其中所有正确的结论为 ．
【答案】③
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，顶点式，抛物线与轴的交点，由图象经过，，得到对称轴是直线，进而确定顶点坐标及开口，得到②正确，选项①错误；根据对称性得到一元二次方程的两个根为或，故选项③正确；根据抛物线与轴的交点，可判断④错误；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵该函数的图象经过，，
∴该函数图象的对称轴是直线，
∴该函数图象的顶点坐标是，有最小值，开口向上，
∴二次函数可改写为的形式，故选项①②错误；
∵该函数的图象经过，其关于对称轴直线的对称点为，
∴关于的一元二次方程的两个根为或，故选项③正确；
∵该函数的图象经过，，
∴若，则或，故选项④错误；
综上，正确的结论为③，
故答案为：③．
题型五：二次函数图与各项系数符号
【经典例题5】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键．
①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误．
【详解】解：①∵，
∴
∵，
∴故①错误；
②由图象可知：时，；
即，故②正确；
③由图象可知，
∴，
又，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
④由图象可知：时，，
又，
即，
∴，
∴故④错误．
【变式训练5-1】如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值，
，
∴对于任意的，均有，故②正确；
抛物线过，
∴，故③正确；
∵抛物线过，关于直线对称的点为，
∴若，则或，故④错误．
∴正确的个数为3．
故选：B．
【变式训练5-2】抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．1个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】首先由对称轴得到，得到，然后结合抛物线经过点，得到，然后由开口方向得到，得到，可判断①；由抛物线的对称性得到和关于对称轴对称，然后得到时，，即可判断②；同理得到时，，得到，然后代入即可判断③；联立直线与抛物线，然后根据根与系数的关系得到，，进而可判断⑤．
【详解】∵抛物线对称轴，经过点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴且，故①错误，
∵抛物线对称轴，经过，
∴和关于对称轴对称，
∴时，，
∴，故②正确，
∵抛物线与x轴交于，
∴时，，
∴，
∵，
∴，即，故③错误，
∵，，
∴，故④正确，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴方程的两个根分别为、，
∴，，
∴，故⑤正确，
综上所述，正确的个数为3个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题，二次函数图像上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练5-3】抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【详解】解：二次函数与轴有两个交点，
，故①错误，
观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确，
抛物线与轴的另一个交点为在和之间，
时，，故③错误，
当时，抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根，故④正确，
对称轴，
，
，
，故⑤正确，
故选：B．
【变式训练5-4】如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论是 ．
【答案】①③
【分析】根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④．
【详解】解：：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间，
∴该抛物线与轴的另一个交点在，之间，
∴方程一定有一个根在和之间，故结论②错误；
根据函数图象可得，抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；
∵抛物线与轴的另一个交点在，之间，
∴，
∵二次函数的图象与轴交点的纵坐标是，
∴，
∴，
∴．故结论④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
【变式训练5-5】如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论是 ．
【答案】①③
【分析】根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④．
【详解】解：：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间，
∴该抛物线与轴的另一个交点在，之间，
∴方程一定有一个根在和之间，故结论②错误；
根据函数图象可得，抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；
∵抛物线与轴的另一个交点在，之间，
∴，
∵二次函数的图象与轴交点的纵坐标是，
∴，
∴，
∴．故结论④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
题型六：一次函数与二次函数的综合判断
【经典例题6】在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解本题的关键．
分别对每一个选项进行分析，利用一次函数而二次函数的图象与性质进行分析即可．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故A错误，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故B错误，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图不符，故C错误，不符合题意；
D、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图相符，故D正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练6-1】函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线与y轴交于点，
A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意；
B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意；
C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意；
D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意；
故选：A．
【变式训练6-2】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限，
∴，，
∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧，
∴，，
∴此选项不符合题意；
、∵一次函数的图象过一、二、四象限，
∴，，
∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧，
∴，，
∴此选项不符合题意；
、∵一次函数的图象过一、三、四象限，
∴，，
∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧，
∴，，
∴此选项符合题意；
、∵一次函数的图象过一、二、四象限，
∴，，
∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧，
∴，，
∴此选项不符合题意；
故选：．
【变式训练6-3】函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据一次函数经过的象限和二次函数的开口方向分别求出两个函数中字母a的符号，再结合二者都经过进行求解即可．
【详解】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则，抛物线开口向下，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向下，则，故此选项不符合题意；
C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，且两个函数都与y轴交于，故此选项符合题意；
D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练6-4】二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质， 一次函数从左到右上升，反之，与y轴交于；二次函数的图象开口向上，反之，与y轴交于．
【详解】根据题意，当时，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数的图象y随x的增大而增大，与y轴交于正半轴，故排除A；
当时，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数的图象y随x的增大而减小，与y轴交于负半轴，故排除C、D，
故选：B．
题型七：反比例函数与二次函数的综合判断
【经典例题7】二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交点在负半轴，对称轴在轴左边，
∴，，，
∴，
∴直线过一、二、四象限，
当时，
∴双曲线过二、四象限，
∴双曲线和直线的位置都符合条件的只有D选项，
故选：D．
【变式训练7-1】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】先根据二次函数的图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
，
，
，
，
的图象必在二，四象限，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
，
的图象经过一，二，四象限，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
【变式训练7-2】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断．观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，可得，，再根据一次函数和反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象进过第一、三、四象限，反比例函数的图象为第二、四象限．
故选：C
【变式训练7-3】已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，根据二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，可知，，据此进行判断即可求解，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴相交，
∴，
∵二次函数的对称轴在轴的右侧，
∴对称轴，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，
二次函数的图象经过原点，且开口向上，对称轴，在轴的左侧，
故选：．
【变式训练7-4】已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象和性质，根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到， ，，再根据二次函数进行观察图象即可判断，解题的关键是根据函数图象确定，，的取值范围．
【详解】解：根据题意和已知图像关系，可知反比函数分布在第二象限，
∴
又∵函数图像经过一、二、三象限，
∴，且，
∴的对称轴为：，故D不符合题意；
将代入函数，可得到，故B和C不符合题意，A符合题意；
故选：A．
【变式训练7-5】已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数和反比例函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由二次函数的图像来确定，的符号，再由顶点坐标的位置确定的符号即可
【详解】解：图象与x轴交于，顶点是，
∴对称轴为直线，
∴图像与x轴另一交点为，
∴设，
化简得：，
∴，
有图像可知，，与x轴有两个交点，
∴，
∴，
而，
∴图像经过第一、二、四象限，
∵顶点在第三象限，∴，∴
而，
∴反比例函数解析式为，
∴图像过第一、三象限，
综上，可知A选项符合题意．
故选：A．
【变式训练7-6】二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，
当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意，
当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意；
当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，
当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意；
故选：B．
题型八：二次函数性质的综合
【经典例题8】在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
(1)直接写出抛物线G的顶点坐标；
(2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换．
（1）把抛物线解析式化成顶点式即可求解；
（2）根据二次函数开口向上时点到对称轴的距离越远值越大可得的取值范围；
（3）根据题意先求出点、、的坐标，然后再根据抛物线G与线段恰有一个公共点分情况讨论计算即可求的取值范围．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点为；
（2）解：抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
∵开口向上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远值越大，
∵在抛物线G上有两点，，且，
∴，即，
当时，，则，解得，此时；
当时，，则，解得，此时；
的取值范围是或；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴交于点，
点的坐标为．
点与点关于轴对称，
点的坐标为．
点右移3个单位得到点，
点的坐标为．
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴当抛物线与直线只有一个交点时，则，解得，此时交点刚好是点，在线段上；
当抛物线与直线有两个交点分别为点，（点在点右边），，解得，
当只有点在线段上时，如图，
∴当时，，
当时，，
解得；
当只有点在线段上时，如图，
∴当时，，
当时，，
不等式组无解；
把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，也在线段上，即抛物线与线段有两个交点；
把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，不在线段上，抛物线与线段有一个公共点；
综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时可得：或．
【变式训练8-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为______；
(2)当时求抛物线最大值（用含a的字母表示）
(3)若当时，的最小值是，求当时，的最大值；
【答案】(1)直线
(2)
(3)11
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．
（1）根据对称轴直线代入求解即可．
（2）根据二次函数解析式可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而增大．进而可得出当时y的值为最大值，代入求解即可．
（3）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线．
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
又对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而增大．
∴当时抛物线的最大值即当时，y的值，
此时
（3）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
又当时，的最小值是，
∴当时，，
即，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵当比当离对称轴直线近，
∴当时，取的最大值，
此时．
【变式训练8-2】已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标．
(2)若该抛物线与x轴交于和两点（其中．
①若，求a的值；
②若，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）将点代入二次函数解析式求得，求得对称轴为，再根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①根据二次函数的对称性求得，，即可求得，再代入解析式求解即可；
②由可知，，当时，图象经过点，则，故此需满足，根据二次函数的对称性可得当时，；时，，求得；当时，由图象经过点，根据对称性得，故此时需满足，故时，，则，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入二次函数解析式得：，
解得，
抛物线对称轴为：直线，
∴对称轴为直线，
∴点A的对称点B为；
（2）解：①由抛物线与x轴交于和两点，点P和点Q关于直线对称．
又∵，
则，，
∴，
将点代入二次函数解析式得，，
解得；
②由可知，，
当时，由图象可知，，则，故此时需满足，
故当时，；时，，则；
当时，由图象可知，，则，故此时需满足，
故时，，则，
综上，或．
【点睛】本题是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，数形结合、分类讨论是解题的关键．
【变式训练8-3】已知二次函数（a为常数，）．
(1)该函数图象的对称轴是直线________；
(2)若，当时，求函数值y的取值范围；
(3)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据的对称轴为求解，即可解题；
（2）将代入函数解析式计算，得到函数解析式，再根据抛物线的增减性和最值求解，即可解题；
（3）根据根的判别式，以及不等式性质求解，即可证明该函数的图象与x轴有两个公共点．
【详解】（1）解：，
该函数图象的对称轴是直线；
故答案为：；
（2）解：将代入函数解析式得，，
抛物线的对称轴为直线，开口向下．
，
当时，y最大是4，当时，y最小是0，
；
（3）证明：，且，
，，
，
该函数的图象与x轴有两个公共点．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线对称轴，增减性、最值，与坐标轴交点情况，根的判别式，不等式性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
【变式训练8-4】已知抛物线，
(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；
(2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）抛物线过点，可知关于对称轴对称，即可求解；
（2）设抛物线的对称轴为，先求出的取值范围，再根据函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是．
（2）解：设抛物线的对称轴为，
由题知， 在的右侧，在的左侧，
∵，存在，
∴点到大于 点到的距离，
∴到的距离为：，点到的距离为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴都在函数的左侧，
∴，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小，
∵，
∴．
【变式训练8-5】在平面直角坐标系中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
(1)当抛物线过点时，求的值；
(2)若，点，在抛物线上，若，求的取值范围；
(3)若点和在抛物线上，若，且，求的取值范围．
【答案】(1)的值为；
(2)
(3)当时，；当时，；
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二次函数图象上点的坐标特征．
（1）将点代入抛物线，得出和的数量关系，即可求解；
（2）根据题意得到抛物线必过，利用，抛物线开口向上，结合，推出对称轴在轴右侧，且离对称轴较近，离对称轴较远，即可解题．
（3）根据若，且，分以下两种情况讨论，①当时，②当时，根据以上两种情况，结合抛物线必过分析讨论，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
，
抛物线的对称轴为，
．
（2）解：，
抛物线开口向上，
当时，，
抛物线必过，
点，在抛物线上，且，
对称轴在轴右侧，且离对称轴较近，离对称轴较远，
，，
；
（3）解：当时，，
抛物线必过，
设函数与轴的另一个交点坐标为
①当时，
点和在抛物线上，若，且，
，
即点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，解得，
函数经过，，且，
函数与轴的另一个交点横坐标，
，即，
当时，；
①当时，
点和在抛物线上，若，且，
，
即点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，解得，
函数经过，，且，
函数与轴的另一个交点横坐标，
，即，
当时，；
综上所述，当时，；当时，；
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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