第26章 反比例函数单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：反比例函数
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
3．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知是双曲线上一点，过点作轴，交双曲线于点，则 AOB的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
6．如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
7．已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图像分布在第二、四象限 B．随的增大而减小
C．如果两点，都在图像上，则 D．图像关于原点中心对称
9．如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（ ）
A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6
10．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．6
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ．
12．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为 ．
13．当时，反比例函数随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象限．
14．若函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ．
15．在平面直角坐标系中，过点，且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
16．一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ．
17．如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ．
18．如图，，…，都是等腰直角三角形，点，……，都在函数的图象上，斜边，…，都在x轴上，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集：______；
(3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标．
21．已知反比例函数常数，．
(1)若点在这个函数的图象上，求的值；
(2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由．
22．国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式；
(2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
23．如图，在平面直坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，．
(1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______；
(2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、：
①当为最小值时，求点M坐标：
②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标．
24．如图，在 ABC中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为， ABC的面积与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）
①；②；③．
(2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由．
(4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案）
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第26章 反比例函数单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：反比例函数
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大，
∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是，
，
∴，
∴，
故选：D．
2．已知关于x的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键．根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可．
【详解】解：当时，
∵反比例函数的系数，一次函数，其中，
∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，
∴没有图象符合；
当时，
∵反比例函数的系数，一次函数，其中，
∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过二、三、四象限，
∴A选项中图象符合．
故选：A．
3．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限，
，
当时，由图象可得，
，
故选：B．
4．若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：已知反比例函数解析式为，
∵，
∴反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中， 随 的增大而减小，
当时，；当时，；
∵，
∴，，
如图所示，
∵，
∴，
故选：C ．
5．如图，已知是双曲线上一点，过点作轴，交双曲线于点，则 AOB的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，关键是表示出两点的坐标．
首先根据点所在位置设出两点的坐标，再表示出，根据三角形面积计算公式进而求解．
【详解】解：∵点在双曲线上一点，
∴设，
∵轴，在双曲线上，
∴，
∴，
则，
故选：C．
6．如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案．
【详解】解：设反比例函数的表达式为，
过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，
设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，
由图象可知：，，
依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数．
1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上，
，
，，
，，
，
即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数，
2班的优秀人数为最多．
故选：B．
7．已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．
【详解】解∶根据题意得： 当时， x的取值范围是或．
故选 ∶D．
8．已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图像分布在第二、四象限 B．随的增大而减小
C．如果两点，都在图像上，则 D．图像关于原点中心对称
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
【详解】解：A．，
反比例函数图像分布在第一、三象限，故该选项错误，不符合题意；
B．在每一象限内，随的增大而减小，故该选项错误，不符合题意；
C．，，
，故该选项错误，不符合题意；
D．反比例函数的图像关于原点中心对称，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
9．如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（ ）
A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，二次根式的混合计算，解一元二次方程，先联立两函数解析式求出，则，再根据矩形面积公式和周长公式求解即可．
【详解】解：联立，解得 或，
经检验，这两组解都是方程组的解，
∴，
∴，
∴长为，宽为的矩形面积为，周长为，
故选：A．
10．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解．
【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ，
∵轴，
∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，
∴点B的坐标为，点D的坐标为，
∵，，
∴ ，
解得 ，
∵与的距离为5，
∴ ，
把代入中，得：
，
即，
解得：，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题．
根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案．
【详解】解：把代入得到，
解得，
把代入得到，
解得，
方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知，
∴
故答案为：
12．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了本题考查了二次函数的性质．根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数为：，
∴
∴二次函数的开口向上，对称轴为：，
点关于对称轴的对称点为，
∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
13．当时，反比例函数随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象限．
【答案】 一、三
【分析】此题考查了反比例函数的定义、解一元二次方程、反比例函数的图象和性质等知识．
根据定义得到，解得，，再根据当时，反比例函数随x的减小而增大得到，图象分别在第一、三象限．
【详解】解：根据题意，得，
∴
解得，
∵当时，反比例函数随x的减小而增大，
∴，
∴
∴，
此时图象分别在第一、三象限．
故答案为：，一、三
14．若函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题关键，由题意可得，，再将代数式通分后计算求值即可．
【详解】解：函数与的图象的交点坐标为，
，，
，，
，
故答案为：．
15．在平面直角坐标系中，过点，且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
【答案】或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．
【详解】解：直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
当在原点右侧时，则点坐标为，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
或（舍去）；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
故答案为：或．
16．一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ．
【答案】12
【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意．
联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解；
【详解】解：将代入得，
整理得，
∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点，
，
或0（舍去），
故答案是：12．
17．如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式．
设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积．
【详解】解：设点坐标为，，
，点在轴上，
，
设的表达式为，
代入，得，
解得，
的表达式为，
，
的表达式为，
联立方程组，
解得，
，，
，
点，，
设直线的表达式为，代入，得：，
把点坐标代入得：，
，
解得，
点所在反比例函数解析式为，
则．
故答案为：，．
18．如图，，…，都是等腰直角三角形，点，……，都在函数的图象上，斜边，…，都在x轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，点坐标规律的探索，等腰三角形的性质；解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．
首先根据等腰直角三角形的性质，知点的横、纵坐标相等，根据等腰三角形的三线合一求得点的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点的坐标和双曲线的解析式求得点的坐标；根据点的坐标特征即可推而广之即可求出答案．
【详解】解：可设点，
根据等腰直角三角形的性质可得：，
又∵，
则，
∴（负值舍去），
则；
再根据等腰三角形的三线合一，得的坐标是，
设点的坐标是，
又∵，则，即
解得，，，
∵，
∴，
再根据等腰三角形的三线合一，得的坐标是；
可以再进一步求得点的坐标是，推而广之，则点的坐标是．
故点的坐标为．
故答案是：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
【答案】(1)的值为，的值为1
(2)3
(3)经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
（1）利用反比例函数求出点和点，代入计算即可；
（2）利用、、三点的坐标和面积公式计算即可；
（3）求出点的坐标，然后写出解析式即可．
【详解】（1）解：把点、代入得，，
解得，，
，，
把，代入中得：
，
解得，
即的值为，的值为1；
（2）解：直线与轴交于点，
，
的面积为：；
（3）解：当时，，
，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，
，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集：______；
(3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集．
（1）利用一次函数求出，问题随之得解；
（2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解．
【详解】（1）解：函数的图象经过，
，解得：，
，
，
反比例函数表达式为：；
（2）解：函数的图象经过，
，
，
由图可得，不等式的解集是：或；
（3）解：设，
如图：
在中， 当时，得，
解得：，
，
，
，，
，
解得：或，
点P的坐标为或．
21．已知反比例函数常数，．
(1)若点在这个函数的图象上，求的值；
(2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)点不在这个函数的图象上，理由见解析．
【分析】（）利用待定系数法求解即可；
（）求出当时，的值，再比较即可得出答案；
本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴；
（2）当时，
∴这个解析式为，
当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
22．国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式；
(2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
【答案】(1)
(2)这次消毒很彻底
【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质．
（1）设双曲线的解析式为，将代入求得，再求出，设线段的函数解析式为，将，代入计算即可；
（2）将分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的值，然后作差与15比较即可得出此次消毒是否有效．
【详解】（1）解：设双曲线的解析式为，
将代入解析式得，，
药物在燃烧释放过程中，双曲线的函数解析式为，
将代入解析式得，，
解得，
故，
设线段的函数解析式为，
将代入可得：，
解得：，
药物在燃烧释放过程中，线段的函数解析式为，
综上，；
（2）解：将代入中，可得：，解得：，
将代入中，，解得：，
∴空气中每立方米的含药量不低于4毫克的时间为，
这次消毒很彻底．
23．如图，在平面直坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，．
(1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______；
(2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、：
①当为最小值时，求点M坐标：
②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标．
【答案】(1)，
(2)①，②或
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标；
①作关于轴的对称点，连接交轴于，由于C和关于轴对称，有，当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点M的坐标；②设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，可证明，则，，列出；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，列出，解得n即可．
【详解】（1）解：∵，，
，
将代入得：
，
解得，
反比例函数的表达式为，
在中，令得，
的坐标为；
（2）解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图：
，关于轴对称，
，
当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
由（1）知，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
则直线的解析式为，
当时，，
则点M的坐标为；
②设，，
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
的等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，，
，
解得或（舍去），
；
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题主要考查函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及等直角三角形的性质，解题的关键是熟悉函数的性质．
24．如图，在 ABC中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为， ABC的面积与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一）
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理：
（1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；
（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵在 ABC中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在上时，过点D作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
由对称性可得当点P在上时，；
综上所述，；
（2）解：列表如下：
… 1 2 …
…
… 1 6 …
…
… 1 2 …
12 6 …
如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
（3）解：联立得，此时，原方程无解；
联立得，解得或
由函数图象可知，当时，．
25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）
①；②；③．
(2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由．
(4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案）
【答案】(1)③
(2)；
(3)方程是“三倍根方程”；见解析
(4)
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．
（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；
（2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；
（3）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案；
（4）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；
由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；
由可得：，满足“三倍根方程”的定义；
故答案为：③；
（2）解：设关于x的方程的两个根为，
由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
∴，；
（3）解：点在反比例函数的图象上，
，
方程化为方程，
整理得，
解得，，
方程是“三倍根方程”；
（4）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和．
原方程可以改写为，
，
．
解得．
，，之间的关系是．
故答案为：．
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