重庆市育才中学校高 2026 届高二（上）十月月考
数学试题参考答案
一、选择题:本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分.
1-4：ADBB 5-8: CCBD
8【解析】：如图所示，取PA中点为O，由于 PB AB， PC AC ，则OB OC OP OA，
故O是三棱锥的外接球的球心，易知 PA 4， PB PC 2 3 .
过点 P作 PH 平面ABC，连接 AH ，易知 AH 过 BC中点M ，连接PM .
因为 AM 3 , PM 11 ,PA 4，则直线 PA与平面 ABC所成角 PAM ，
2 2
42 3 11 3
由余弦定理可得 cos PAM ，故选 D.
2 4 3 3
二、选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.
9. ABCD 10. AC 11. ACD
11【解析】：对于选项 A：当 1时， B1P BC，故点 P在 B1C1上运动，而 B1C1平行于平面DBC，
1
所以三棱锥 P DBC的体积为定值.故 A正确. 对于选项 B：当 时，取 BC中点记
2
为 E连接 EN ，易得点 P在 EN 上运动，当 P与点 E， N ，重合时，由勾股定理可得
PB 2
1
1 PD
2 DB 21 ，所以 PD PB1，故 B错误. 对于选项 C ：当 时，取2
BC中点记为 E，取 BB 中点记为 F 连接 EF，则点 P在线段EF上运动，易得点C
关于直线 EF的对称点为C ，连接 NC ，此时点 N 、 E、C 三点共线，故点 P与
1
点 E重合时取得最小值为3，故C正确.对于选项 D：当 0， 时，P为 BB
2 1
的中点，过点 P作DM 的平行线交 AB于点 E，过点M 作DE 的平行线交B1C1于
点 F ，即可得到截面MDEPF 9 5 7 13，易得周长为 ，故D正确.
6
三、填空题:本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分.
2 2
12. x y 1 13. 7 14. 7； 9
10 6
14 【 解 析 】 ： 易 知 OP 是 以 d1,d2 为 邻 边 的 矩 形 的 对 角 线 ， 所 以 d 21 d
2
2 OP
2 7 ；
AC 1 2 8 d 21 ,BD 2 8 d
2
2 ,SABCD AC BD 2 8 d
2
1 8 d
2
2 (8 d
2
1 ) (8 d
2
2 ) 9 当且仅当 d1 d2 2
时取得等号.
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四、解答题:本题共 5小题，15题 13分，16、17题 15分，18、19题 17分，共 77分，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）过点 A( 5,1)，点 B(3, 7)的直线的两点式方程为：
y 1 x 5
，.............. .......................... ..... .... ........................... ..........（2分）
7 1 3 5
整理得：3x 4 y 19 0
直线 l的方程为3x 4 y 19 0 . ........... .. ..... .... ......... . ............................................... ..........（4分）
（2）设线段MN 的中点为 P，则由M (1, 0)， N (3, 2)有 P(2,1)，
MN k 2 0且直线 的斜率为 MN 1，3 1
因此线段MN 的垂直平分线 l 的方程为： y 1 (x 2)，即 x y 3 0，.........................（7分）
由垂径定理可知，圆心C也在线段MN 的垂直平分线上，
x y 3 0 x 1
则有 圆 C的坐标是 ( 1,4)；............................ ..... .................（9分）
3x 4y 19 0 y 4
圆的半径 r MC ( 1 1)2 (4 0)2 2 5， .............................. ..... ........... ...... ..... .......（11分）
圆 C的标准方程是 (x 1)2 ( y 4)2 20 . .................... .............. ..... ........... ...... ..... .......（13分）
16. （1）连接BC1，设 BC1 B1C O，连接OD，由三棱柱的性质可知，
侧面 BCC1B1为平行四边形，∴O为BC1的中点，........................................（2分）
又∵D为 AB中点，∴在 ABC1中，OD//AC1，
又∵OD 平面CDB1， AC1 平面CDB1，.............. ....................................（5分）
∴ AC1 //平面CDB1． .......... ................ ..... ............ ................... .................（7分）
（2）由题意可知CA,CB,CC1两两垂直故以CA,CB,CC1所在直线为 x轴、y轴、z轴
建立如图所示的空间直角坐标系．
则C 0,0,0 ， A 6,0,0 ， A1 6,0,8 ，D 3,4,0 ，B1 0,8,8 ．
所以 AA1 0,0,8 ，CD 3,4,0 ，CB1 0,8,8 ，...................................（9分）
设平面CDB1的法向量为 n x, y, z ，
数学试题参考答案 第 2页，共 5页
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CD
n 3x 4 y 0
则 令 x 4，得 n 4, 3,3 ；.................... ..... ................................. ..............（12分）
CB1 n 8y 8z 0
n
AA 3 8 3 34
设 AA1与平面CDB1所成角为 ，则 sin cos n, AA 11 ，n AA1 8 16 9 9 34
所以 AA1与平面CDB
3 34
1所成角的正弦值为 ． ...................... .... ................................... ............（15分）
34
17. （1）由 BC BA 2， CBA 90 ，所以 AC 2．
取 AC的中点 O，连接 PO，BO，
1
由题意，得PO BO AC 1，再由 PB 2，可得 PO2 BO2 PB2 ，即 PO BO． .......（3分）2
由题易知 PO AC，又 AC BO O ， BO, AC 面 ABC，所以PO 平面 ABC， .......... ..（5分）
又PO 平面 PAC，所以平面 PAC 平面 ABC． ........ ..... . .... ..... ...... ..... .......... . ... .........（6分）
（2）由（1）可知 PO OB， PO OC，又OB AC，
故以 OC，OB，OP所在直线为 x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则C 1,0,0 ， B 0,1,0 ， A 1,0,0 ， 0,0,1 ．
所以 AP 1,0,1 ， BC 1, 1,0 ， PC 1,0, 1 ，.. ........... ..... .........（8分）
令 AM AP ,0, ， 0 1 所以M 1,0, ．
所以MC 2 ,0, ．
设平面 MBC的法向量为m x1, y1, z1 ，
BC
m x y 0
则
1 1 x 1 令 1 ，得m 1,1,
2
；..... ..... . .... ..... ...... ..... ..... ..............（10分）
MC m 2 x1 z 0
1
设平面PBC的法向量为n x2 , y2 , z2 ，
BC n
x y
2 2
0
，令 x2 1，得 n
1,1,1 ； .... ..... . .... ..... .... ... ..... ... ..... .... ...... ..... . ..... .......（12分）
PC n x2 z2 0
2
2
n m 7
则 cos n,m ，
n m 2 9
3 2 2
t 2 设 ， t 1, ，则上式可化为11t2 54t 5 0，. ... .... ... ..... ... ..... .... ...... .. .. ... .. .......（14分）
数学试题参考答案 第 3页，共 5页
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即 t 5 11t 1 0 1 2 ，所以 t 5（ t 5 1舍去），所以 ，解得 ． ..... ..... . ..... ....（15分）
11 3
1
18. 解：（1）设动点M 坐标为 (x, y)，由 MO MA ，
2
x2 y2 1即 (x 3)2 y2 ， .... ... ...... ..... ...... .. ... ...... ..... ......... .. ... ...... ..... ......... .. ... ......（4分）
2
整理得 (x 1)2 y2 4 . .... ... ...... ..... ...... .. ... ...... ..... ......... .. ... ...... ..... ......... .. ... ......（6分）
（2)设直线 l的方程为 y kx 2， P,Q两点的坐标分别为 (x1, y1)，(x2 , y2 )
(x 1)2 y2 4
联立 ，整理得 (1 k 2 )x2 (4k 2)x 1 0（*）. ..................... ......... .. ... ......（9分）
y kx 2
4k 2 1
因为（*）式的两根为 x1, x2，所以 x1 x2 , x x ， ........ ............ ......... .. ... ......（10分）1 k 2 1 2 1 k 2
4
(4k 2)2 4(k 2 1) 0，即 k 或 k 0 . ... ..... ............ ......... .. ... ......（11分）
3
则OP OQ x1x2 y1y
2
2 x1x2 (kx1 2)(kx2 2) (1 k )x1x2 2k(x1 x2 ) 4 3， ........ ......（13分）
将 x1 x
4k 2
2 2 , x1x
1
2 2 代入上式，化简解得 k 2 . ... ..... ............ ......... .. ... ......（15分）1 k 1 k
而 k 2满足 0，故直线 l的方程为 y 2(x 1) .
因为圆心M (1,0)在直线 l上，所以 PQ 4 . ... ..... ............ ..... ... ..... ............ .......... .. ... ......（17分）
19. 解：（1）在 EB D中，易得 B E 4， B D 3 3 ， DE 7 ，
B E 2 B D 2 DE 2
由余弦定理可得 cos DB E 3 ，从而 DB E . . ..... .......（4分）
2 B E B D 2 6
3
提示：可建立空间坐标系利用向量求夹角的余弦值为 ，从而得出 DB E .
2 6
（2）（i）曲线 是椭圆. .... ... ... ... .. . ... ... ..... ... .... .. . ... ... ... ... ..... ... .... .. .. . ... ... ..... ... ....... .......（6分）
因为二面角B AC D为直二面角，且 ACB 90 ，所以 B C ，如图 1，
不妨取 AC的中点为O，以OD为 x轴，OC为 y 轴，过点O作 B C的平行线
为 z轴建立空间直角坐标系.
则点 B (0,3, 2 3)，E(0,1,0)，
设 P(x, y, 0)，B E (0, 2, 2 3)，B P (x, y 3, 2 3)， ........ ...（8分）
图 1
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由（1）可知 PB E DB E ，
6
cos B
E B
从而 PB E P 2y 18 3 ， ..... ... .......（10分）
B E B P 4 x2 (y 3)2 12 2
x2 y2
化简可得： 1，即为 的方程. .... .. . ... ... ... ... ..... ... .... ... ... ... ..... ... .... ..（12分）
6 9
说明：不同的建系可能得到不同的方程，只要得出椭圆的方程即可得分.
（ii）将立体几何平面化，只需研究平面 上几何关系. 不防将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转90 得到
x2 y2
图 2，在新坐标系下椭圆方程为 1，直线 l的方程为 3x y 5 3 0，
9 6
引 理 ： 点 M (x1, y1) 与 直 线 mx ny c 0 上 一 动 点 N(x2 , y2 ) 的 最 小 曼 哈 顿 距 离 为
mx1 ny1 cd(M ,N)min .max m , n
证明：如图 3，当 m n ，即 MM1 MM 2 时，由于 d(M ,N) MN1 N1N MN1 N1M1 MM1 ，
ny c mxN M 1
ny1 c
当点 在点 1处取得等号成立，即 d (M ,N )min x 11 ，m m
mx1 ny1 c
同理可以得出 m n 时的最小曼哈顿距离，综上 d(M ,N)min 得证.max m , n
设点M (3cos , 6 sin ) .由引理可知：
3xM yM 5 3 3 3 cos 6 sin 5 3
d (M ,N )min 5 11 ，
max 3 , 1 3
所以 d (M ,N )的最小值为5 11 . . ... ... ..... ... .... . ... ... ..... .. ... ... ... ..... ... .... ..（17分）
图 2 图 3
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数学试题
(满分：150分：考试时间：120分钟)
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号：
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题：
3请在答趣卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效；
4请保持答题卡卡面清洁，不要折及、损毁；考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.经过两点A(2,7),B(4,6的直线的斜率为()
B.-2
2
D.2
2,经过梢圆兰+少
=1的右焦点F的直线1交椭圆于A,B两点，R是椭圆的左焦点，则△MFB的周长是()
25·16
A.8
B.9
C.10
D.20
3.圆C:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+6x+8y-24=0的位置关系为()
A.相交
B.内切
C.外切
D.外离
4.下列可使ā，b,构成空间的一个基底的条件是()
A.a=mb+nc
B.a,b,c两两垂直C.|aHbHo=1
D.a+b+c=0
5.已知圆锥的母线长为4，底面的半径OA=2,用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半径
O0A=1,则截得圆台的体积为()
A.25
3公
B.25π
c.7
3公
D
6,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PDC是正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD,E为线段
PC的中点，记异面直线PA与DE所成角为B,则cos0的值为()
A②
C.v6
4
B.0
D,6
6
C3扫描全能王
3亿人单在用的扫槽A阳
7,如图、已知正方体ABCD-L内，CD钠楚长为2、M、N分别为线歧4A、BC的中点.
若点P为正方林表面上一动点，月满是N炉⊥平MDC、则点P的数透长度为()
A.22
B.5
c.2
D.2
8.已知三棱锥P-AC中，XMC是边长为2的F三角彬，⊥培，℃⊥C、若三能锥P一C的外球
俸积为2本，则直线PA与平面AC所成角的余孩植为()
3
A
8.5
c.vi
4
D.5
1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项件合题目要
求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.关于曲线E:+炒=1，下列镜法正确的是()
A.若曲线E表示两条直线，则=0，n>0或月=0州>0
B.若曲线E表示圆，则折=n>0
C,若曲线E表示焦点在y轴上的椭圆，则m>n>0
D.若曲线毛表示椭圆，则m平方
10.己知直线4：y-2=m(x+)(m∈R),直线马：x-2y+1=0(1a),则下列说法正确的为()
A.若上4，则we-2
B.若两条平行直线4与42间的距离为2N5,则1=-5
C.直线过定点(-L,2)
D.点P(2,6)到直线L距离的最大值为20
11,如图，在直棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面ABCD为菱形，且AB=L4=2,∠BAD=60,M为线段DC
的中点，N为线段马，G的中点，点P满足BF=1BC+4BB(O≤1≤l0≤4≤)则下列说法正确的是()
A,若H=1时，三棱锥P-DBC的体积为定值
B.若1=时，有且仅有一个点P,使得PD⊥PB
B
C若+A=克，则PNM+PG的最小值为3
D。若入=0，H=分，则平面DPM款该直校柱所得载面周长为25+7N正
D
6
数学试卷第2而.共4而
C3扫描全能王
3亿人单在用的扫槽A阳
