广州市天河中学高中部2024学年第一学期基础考试
高一数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，已知全集,集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．以下四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数则（ ）
A． B． C． D．
4．函数，的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．2或
6．下列不等式正确的是（ ）
A．若,则 B．若，则
C．若,则 D．若,则
7．已如函数在R上是单调递增的函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在R上的偶函数,满足,在区间上单调递减，设,则a,b,c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下面命题正确的是（ ）
A．已知,则“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若,使得”的否定是“”
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．函数在上单调递增，则a的取值范围是
10．设正实数x,y满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值为6 C．最小值为 D．最小值为2
11．已知连续函数对任意实数恒有,当时，，则以下说法中正确的是（ ）
A．
B．是R上的奇函数
C．在上的最大值是8
D．不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．计算____________．
13．已知关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为____________
14．已知函数,对与中的最大值记为,则函数的零点为____________,函数的最小值为____________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
已知集合集合，集合．
（1）求集合；
（2）若,求实数m的取值范围．
16．（本小题15分）已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式，画出函数的图像并写出函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若方程有2个根，求实数k的取值范围，并求这2个根的和
17．（本小题15分）已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）若,求t的取值范围．
18．（本小题17分）习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与肥料费（单位：元）满足如下关系：
其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．
已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
19．（本小题17分）已知二次函．
（1）若函数定义域为R,求实数a的取值范围；
（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（3）解关于x的不等式（其中）．
高一数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D D B C A D B A ACD AC AB
12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】，3；
11．【答案】ABC 【详解】解：对于A,函数对任意实数x恒有,令,可得,A正确；
对于B,令,所以,所以是奇函数；B正确；对于C,令,则,
因为时，,所以,即,所以在均递减，因为,所以在R上递减；，可得；
令,可得,；，
在上的最大值是6，C错误；
对于D,由不等式的可得,
即,则,
,解得：或；D正确;
14．【答案】,3；
因为的解为和与交点为和．
由的图象可知，零点为,3．当时，有最小值
15．【答案】解：（1）由得,即,
所以 2分
由，可得,即,所以且，
解得,所以． 4分
所以或． 5分
所以或 6分
（2）因为,所以, 7分
∴当时，满足,此时，解得； 8分
当时，,则,解得． 12分
综上，可得m的取值范围是． 13分
16．【详解】（1）设,则, 1分
所以 2分
又为奇函数，所以, 3分
所以当时，, 4分
则 5分
作出函数的图像，如图所示： 7分
的单调递减区间为， 8分
的单调递增区间为 9分
（2）要使在上单调递增，结合的图象知，所以,
所以a的取值范围是 12分
（3）由于方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，观察函数的图象与直线的交点情况可知，当时，函数的图象与直线有2个交点，即方程有2个解．根的和为0 15分
17．解（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得, 1分
则，又因为，则，解得, 2分
经检验时,是奇函数，
所以． 3分
（2），函数在上单调递增． 4分
证明：任取, 5分
所以， 8分
因为，所以，则， 9分
所以,即,故函数在上单调递增． 10分
（3）函数是定义在上的奇函数,且，则, 11分
因为函数在上单调递增．
所以则 14分
解得，所以t的取值范围是． 15分
18．【答案】解：（1）由己知
答：的函数关系式为
7分
（2）由（1）
当时，在上单调递减，在上单调递增，且，
； 10分
当时，， 11分
13分
当且仅当时，即时等号成立． 14分
． 15分
因为，所以当时，． 16分
答：当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元 17分
19．【答案】解：（1）函数定义域为R,等价于恒成立， 1分
由题意得, 3分
得．综上，实数k的取值范围为 4分
（2）方法1：不等式可化为， 5分
因为,所以在上恒成立， 7分
而，当且仅当，即时，等号成立， 9分
所以的最小值为,所以, 10分
故实数a的取值范围为．
方法2：不等式可化为 5分
令，对称轴 6分
当时，在单调递增，，解得，所以 7分
当时，在单调递减，在单调递增，,解得,所以 8分
当时，在单调递减，，得，舍去 9分
所以，故实数a的取值范围为 10分
（3）不等式化简可得, 11分
当时，不等式化为,解得； 12分
当时，不等式化为， 13分
若,则，所以不等式的解为或； 14分
若,则，所以不等式的解为； 15分
若,不等式化为，无解： 16分
若，则，所以不等式的解为, 17分
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
