2024-2025学年度（上）10月练习
九年级数学
满分：150分 考试时间：120分钟
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．如图所示的几何体从左面看，得到的图形是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知△∽△，且相似比为1:2，则△和△的周长比为（ ）
（A）1:2 （B） （C）2:1 （D）1:4
3．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．如图，∥∥，，，，则的长为（ ）
（A）4 （B）3 （C）2.5 （D）2
5．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
6．如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定△∽△的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．下列命题为假命题的是（ ）
（A）对角线相等的平行四边形是矩形 （B）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（C）有一个角是直角的平行四边形是正方形 （D）有一组邻边相等的矩形是正方形
8．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．已知，则的值为_________．
10．如图，两点被池塘隔开，小吴为了测量两点间的距离，他在外选一点，连接和，延长到，延长到，，连接，使∥．若小吴测得的长为300米，则________米．
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
12．如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记△的面积为，△的面积为，若正方形的边长，，则的大小为________．
13．如图，菱形的边长为4，°，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．解方程（本小题满分12分，每题4分）
（1） （2）
（3）
15．（本小题满分8分）
已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值．
16．（本小题满分8分）
在平面直角坐标系中，△的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对△进行位似变换，得到△（点分别对应点），且△与△的相似比为1:2．其中点坐标为．
（1）画出△；
（2）点坐标为________；
（3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为________．
17．（本小题满分8分）
小明对小雁塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点，已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）
18．（本小题满分12分）
如图1，在矩形中（），为线段上一点，将△沿折叠得到△，点恰好在线段AD上．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，延长交线段于点．若，，求的长；
（3）小丽同学用不同形状的矩形纸片（），按照题中（2）的方法折叠并延长，发现有些点不在线段上，若要使点落在线段上（不含端点），请直接写出的取值范围．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为________米（结果保留根号）．
20．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
21．如图，在△中，°，，．点为边中点，点为线段上一动点．将△沿折叠，点的对应点为，直线与线段交于点．当△与△相似时，线段的长为________．
22．在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，那么称点为图形的“拉手点”．已知点，．在点，，中，线段的“拉手点”是________；点是边长为的正方形的对角线的交点，若正方形上存在线段的“拉手点”，则的取值范围是________．
23．如图，在平行四边形中，°，°，．点在上，且，连接．动点在线段上，动点在线段上，且．点为线段上一动点，且，当取得最小值时，线段长度为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）
某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为300个，9月份台灯的销售量为507个．
（1）求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率；
（2）若该台灯的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少10个，为了实现每月10000元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？
25．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．直线经过两点，点是轴正半轴上一点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）点是直线上一动点，在坐标平面内有一点，当四边形为菱形时，求出点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使其与三点中的某两点构成的三角形与△相似（相似比不为1）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（本小题满分12分）
在△中，°，，点分别是的中点，连接．然后将△绕点顺时针旋转，连接，直线与直线交于点．
（1）如图1，在△旋转过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值；
（2）如图2，当点在直线的上方时，连接，当时，求的值；
（3）若，在△旋转过程中，当三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出的长．
