2024-2025年北师大版八年级上册数学期中测试题（1-4单元）
一、单选题(每题3分，共30分)
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若一个直角三角形的三边长为6，8，x．则x的值是（ ）
A．10 B． C．10或者 D．7
4．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图．，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（ ）
A．点A到x轴的距离为3 B．点A与点关于x轴对称
C．点A与点关于y轴对称 D．点A在第二象限
8．下列关于直线的说法不正确的是（ ）
A．一定经过点 B．与y轴交于点
C．y随x的增大而增大 D．图象过一、三、四象限
9．已知一次函数，经过点和点且，，当，则（ ）
A． B． C． D．
10．暑假的某一天，同学甲去同学乙家约乙一起去图书馆借书，然后一起回甲家学习，已知同学甲家、同学乙家、图书馆在同一直线上，图中的折线反应了甲离甲家的距离与时间之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．乙家离图书馆的距离为 B．甲、乙一起回甲家的速度为
C．甲去乙家等待了 D．甲、乙在图书馆借书用了
二、填空题(每题3分，共30分)
11．在中，，则的长是 ．
12．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是 ．
13．的整数部分为，小数部分为，那么的值是
14．如果最简根式与是同类二次根式，那么 ．
15．若第四象限内的点到y轴的距离为5，到原点的距离为13，则点P的坐标是 ．
16．已知是正比例函数，若点，都在该函数图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
17．已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”）
18．若一次函数的图象上有两点，点，若，则 ．
19．在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，则 ．
20．某水果店销售某种新鲜水果，出售量与销售额（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款 元．
三、解答题(共60分)
21．计算
(1)； (2)．
22．如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为．
(1)请你帮他计算出旗杆的高度．
(2)如果想要更加准确计算学校旗杆的高度，请你给小明提出一条可行的建议（写出一条即可）．
23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的，写出的坐标 ；
(2)计算：的面积是 ，边上的高是 ；
(3)若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请画出点P，并直接写出的值为 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求点C和点D的坐标；
(2)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s()与甲行驶的时间为t（）之间的关系如图所示．
(1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点．
(2)求甲、乙各自的速度；
(3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离；
(4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米．
26．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点．
(1)试说明：；
(2)若，求的面积；
(3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值．
()
()
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D A A D B B D
1．D
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：A、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
2．D
本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，据此相关运算法则进行逐个分析计算，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
3．C
本题考查了勾股定理．分情况讨论是解题的关键．由题意知，分8是直角边和8是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意知，分8是直角边和8是斜边两种情况，
当8是直角边时，，
当8是斜边时，，
故选：C．
4．D
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．根据二次根式的性质进行列式计算即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故选：D
5．A
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A．
6．A
本题考查垂线段最短，坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是利用垂线段最短解决问题．连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得：，，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，
，，，
，，
，
，
，
故选：A．
7．D
本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握点的坐标与图形位置是解答本题的关键．
按照点在坐标平面内的特征以及有关对称点的性质求解即可．
【详解】解：A、点A的坐标为，则点A到x轴的距离为4，故本选项不符合题意；
B、点A的坐标为关于x轴的对称点为，故本选项不符合题意；
C、点A的坐标为关于y轴的对称点为，故本选项不符合题意；
D、点A的坐标为，则点A在第二象限，故本选项符合题意．
故选：D．
8．B
本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，故图象经过点，选项A正确，不符合题意；
当时，，故与y轴交于点，选项B错误，符合题意；
∵，
∴随的增大而增大，选项C正确，不符合题意；
∵，，
∴图像过一，三，四象限，选项D正确，不符合题意．
故选：B．
9．B
本题考查了一次函数图象的性质的运用，根据一次函数中，的符号决定图象的位置进行判定即可求解．
【详解】解：一次函数中，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，且时，，
∵，
∴，
故选： B．
10．D
本题考查了函数图象与行程问题的综合，根据图示分析进水判定即可求解．
【详解】解：A、乙家离图书馆的距离为，故选项错误，不符合题意；
B、甲、乙一起回甲家的速度为，故选项错误，不符合题意；
C、甲去乙家等待了，故选项错误，不符合题意；
D、甲、乙在图书馆借书用了，故选项正确，符合题意；
故选：D ．
11．
本题考查了勾股定理的运用，根据题意，，可得斜边是，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
∴斜边是，
∴，
故答案为： ．
12．或
此题主要考查勾股定理，根据勾股定理得出，的长度，然后分为是斜边和是直角边进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：，，
当是斜边时，，
当是直角边时，，
故答案为：或．
13．
本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出，进而推出，则，，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即，
∴，
故答案为：．
14．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：．
15．
本题考查了点的坐标，勾股定理，根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：由点P到y轴的距离是5，得，
∴，
∵点P到原点的距离为13，
∴，
由第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得，，
∴点P的坐标是，
故答案为：．
16．
本题主要考查了正比例函数的性质，依据题意，先由是正比例函数，求出，从而，再利用正比例函数的性质，可得出随的增大而减小，最后结合，即可得出．
【详解】解：∵是正比例函数，
，且．
．
．
正比例函数的函数值随的增大而减小，
又点，都在正比例函数的图象上，且，
．
故答案为：．
17．
本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数解析式得到随的增大而增大，即可判断与的大小．
【详解】解：一次函数的图象经过点，，
又，，
，
故答案为：．
18．
本题考查了一次函数图象上点的特征，把A、B的坐标代入一次函数解析式得，，，然后整体代入计算即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
根据题意得，，
，
故答案为：．
19．
本题主要考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：观察发现，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，即，
同理．
则．
故答案为：．
20．
本题考查了一次函数的应用，根据题意求出时与之间的函数关系式，再把代入计算可得答案．
【详解】解：当时，设与之间的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
，
当时，，
小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款元，
故答案为：．
21．(1)
(2)
此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先化简括号内二次根式，然后计算括号内加减，最后计算括号外除法；
（2）首先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和绝对值，然后计算加减．
【详解】（1）
；
（2）
．
22．(1)旗杆的高度为米
(2)见解析
此题考查了勾股定理的实际应用，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键．
（1）根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度；
（2）根据题意求解即可．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则，
在中，由勾股定理可得：
∴，
整理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为米；
（2）解：建议：测量的时候每个数据多测量几遍，求其平均数．（答案不唯一）．
23．(1)见解析，
(2)6；
(3)见解析，
本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可；利用勾股定理求出的长，再结合三角形的面积公式可得答案．
（3）连接，交轴于点，连接，此时的值最小，再用勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求
的坐标为．
故答案为：．
（2）解：的面积为．
由勾股定理得，，
设边上的高为，
则，
解得．
故答案为：6；．
（3）解：连接，交轴于点，连接，
此时满足的值最小，
故答案为：．
24．(1)，
(2)存在，P点的坐标为或
本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出和，再根据勾股定理即可求出的长，设，则,再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标；
（2）求出的值，再根据，即可求出的值，从而即得出P点坐标．
【详解】（1）令得：，
∴．
∴，
令得：，
解得：，
∴．
∴．
在中，，
∵，
∴，
∴．
设，则．
在中，，即，
解得：，
∴．
故，；
（2）存在，理由如下：
∵，
∴．
∵点P在y轴上，，
∴，即，
解得：，
∴P点的坐标为或．
25．(1)
(2)甲的速度是40千米/时，乙的速度是80千米/时
(3)120千米
(4)或
本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键．
（1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案；
（2）由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，即可求出甲的速度．根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度；
（3）当乙到达终点A地时，求出甲离开出发地A地的路程，即为甲乙两人的距离；
（4）分为相遇前和相遇后两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
在点M时，，此时两人相遇，
点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，
点P表示两人距离为，此时甲到达终点；
故答案为：N；
（2）解：由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，
∴甲的速度为（千米/时）
∵当时，两人相遇，
∴两人的速度之和为（千米/时）
∴乙的速度为（千米/时）
（3）解：当乙到达终点A地时，甲离开出发地A地有（千米），
∴当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米；
（4）解：相遇前，甲乙两人相距180千米，则
（小时），
相遇后，甲乙两人相距180千米，则
∵当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米，之后两人距离逐渐增大，
∴（小时），
综上所述，甲出发小时或小时时，甲、乙两人相距180千米．
26．(1)证明见解析
(2)
(3)4
本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定：
（1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明；
（2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可．
【详解】（1）证明：由长方形的性质可得，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴．
