22.2二次函数与一元二次方程易错精讲与针对性训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．如图，抛物线经过点和点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根
3．已知函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A．11 B．12 C．15 D．9
4．已知关于x的一元二次方程的两个根为，则实数a、b、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．抛物线开口向下
C．当时，
D．关于的方程的一个解小于
7．如下表是二次函数的几组对应值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.01 0.02
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为 ．
10．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
11．如表记录了抛物线中两个变量x与y的5组对应值，其中，根据表中信息，
x … 1 3 …
y … m 0 2 0 m …
（1） ；
（2）当时，直线与该抛物线有两个公共点，则k的取值范围是 ．
12．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
13．已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点，则 ．
14．已知二次函数的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有、、三点满足，则m的值为 ．
15．如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是 ．
16．如图，抛物线与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点D的坐标为 ．
三、解答题
17．已知二次函数．
(1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；
(2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标．
18．已知点与点都在二次函数的图像上．
(1)求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
(2)求该抛物线上纵坐标为的点的坐标；
(3)当时， 求函数的最大值和最小值．
19．抛物线与已知抛物线的图象的形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为．
(1)求的解析式；
(2)若与轴的交点为 ，（A在B的左侧），与y轴的交点为C，求的面积．
20．已知抛物线（a是常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于C点，顶点是M．
(1)若点，求点A和点B的坐标．
(2)过M作直线平行于y轴，并与x轴交于N点，，求点A的坐标和抛物线解析式．
(3)在（1）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标．
(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D D B C D
1．C
【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．根据图象及二次函数的性质判断即可
【详解】解：根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，故，故A错误；
抛物线对称轴在y轴右边或左边，故无法确定，故B错误；
抛物线一定经过第一、二、四象限，故抛物线与x轴有2个交点，
故，故C正确、D错误；
故选：C．
2．B
【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时，x的值．
【详解】解：∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，
∵方程，
∴时，即是求x的值，
由图象可知：直线与抛物线只有一个交点，即方程有两个相等的实数根．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．由题意可得，是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可．
【详解】解：函数的图象上有两点和，
，
把代入得，，
函数的图象上有两点和，
，是方程的两个根，
，，
，
．
故选：B
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数的关系是解题的关键．设函数，当时，，可求或，当时，则，可知的两个根为，由二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：设函数，
当时，，
解得，或，
当时，，即，
由题意可知：的两个根为，
∵抛物线开口向上，
∴由抛物线的图象可知：，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的定义．根据“函数的图象与轴有两个交点”可得，且方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵函数的图象与轴有两个交点，
∴，且方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
综上：的取值范围为：且．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；将代入函数解析式求出对应的函数值即可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D．熟知二次函数与方程和方程组的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，
∴选项A的说法正确，不符合题意，选项B的说法错误，符合题意；
当时，，
∴选项C的说法正确，不符合题意；
如图，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∵直线与抛物线的交点在轴的上面，
∴关于的方程即有两个解，一个解小于，一个解大于，
∴选项D的说法正确，不符合题意．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似根，根据抛物线与轴的交点的相邻两侧的函数值的符号相反，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知，时，，当时，，
∴在之间必然存在一个的值使，
∴方程的一个解的范围是；
故选C．
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键．
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，
，故①正确符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
，
，故②不符合题意；
③当时，，故③不符合题意；
④当时，，
∴， 故④符合题意；
⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意，
故选：D．
9．
【分析】令，根据题意，得，解答即可．
本题考查了抛物线的应用，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：令，
由无论取任何实数，代数式都有意义，
故，
故的判别式
解得，
故答案为：.
10．1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
11．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，注意数形结合．
（1）根据表格中的数据，时，，代入中，求出即可；
（2）由表知，抛物线的对称轴为直线，则由对称性可得，则可求出函数解析式，根据解析式即可确定k的范围．
【详解】解：（1）根据表格中的数据可知：时，，
代入得：
，
解得：；
故答案为：；
（2）由表知，函数自变量取时，对应函数值相等，
则抛物线的对称轴为直线，
由表知，函数自变量取，1时，对应函数值相等且为0，
则由对称知，，即，
表明抛物线与x轴的两个交点坐标为，
把这两点坐标代入中，得：
，
解得：，
即；
当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，如图，
则直线位于直线于过顶点且平行于x轴的两直线间；
而，则抛物线的顶点坐标为，
所以；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键．
根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为．
【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点，
∴关于的一元二次方程的解为．
故答案为：．
13．0
【分析】此题考查了二次函数和x轴交点问题，代数式求值，将，代入得到，然后两式相加即可求解．
【详解】∵二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点
∴
∴得，
∴．
故答案为：0．
14．16
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
先令求出长度，然后将函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解．
【详解】解∶令．解得，
，
，
抛物线顶点坐标为，
当点中有1点为抛物线顶点时满足题意，
，
故答案为∶16．
15．
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系．抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可．
【详解】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为，
∴方程的解是．
故答案为：．
16．
【分析】取点A关于y轴的对称点E，连接，则，由抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而得到点E坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，D、C、E三点共线，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得D的坐标．
【详解】取点A关于y轴的对称点E，连接，
则，
当时，或，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D、C、E三点共线，
设直线解析式为，
则，
解得，，
∴，
联立，
得，
解得，或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，勾股定理的逆定理判断直角三角形，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，是解决问题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键．
（1）证明判别式大于0，即可得出结论；
（2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；
（2）解：∵该函数图象的对称轴是直线，
∴对称轴为直线
∴
∴
∴当时，
∴该函数的图象与轴的交点坐标为．
18．(1)，对称轴为，顶点坐标为，二次函数图象开口向上
(2)
(3)函数的最大值为，最小值为
【分析】本题主要考查二次函数图象的的性质，待定系数法求解析式，
（1）把点代入，运用待定系数法可求出解析式，再把点代入即可求解；
（2）根据题意，把代入二次函数解析式，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质，当时，；当时，；当时，；由此即可求解．
【详解】（1）解：已知点在二次函数的图象上，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为，
∵点在二次函数图象上，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为；
（2）解：抛物线上纵坐标为，即，
∴，
解得，，
∴纵坐标为的点的坐标为，；
（3）解：∵二次函数的对称轴为，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，时，，时，，时，，
∴当时，函数的最大值为，最小值为．
19．(1)；
(2)12．
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，
（1）根据两图像形状大小，开口方向都相同即可求得a的值，根据顶点坐标可求得、的值．
（2）根据抛物线解析式求得点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：∵与已知抛物线的图象的形状相同，开口方向也相同，
∴，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴；
（2）∵与轴的交点为，（在的左侧），与轴的交点为，
∴，即，
解得：，，
当时，，
，，，
则的面积为：．
20．(1)，
(2)，
(3)存在，或
【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先用待定系数法求函数解析式，令，解一元二次方程即可；
（2）由得，顶点，则，则，可求，代入解方程即可求出，故解析式为；
（3）如图，过点作轴于点，由，知和是共底三角形，则面积关系转化为高的关系，可求或，分别代入抛物线解析式，解方程即可．
【详解】（1）解：将代入
得：，
解得：，
∴解析式为：，
当时，，
解得：或，
∴，；
（2）解：由得，顶点，如图：
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入
得：，
解得：，
∴解析式为：；
（3）解：存在，
如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当时，
解得：或，
∴或，
当时，该方程无实数根，所以不成立，舍，
综上所述，点的坐标为或．
21．(1)点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为；
(2)或
(3)在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或
【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为；
（2）根据，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解；
（3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标．
【详解】（1）令，则，
解得，．
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为．
令，得．
点的坐标为；
（2），，
，
设点的坐标为，
．
，．
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
（3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下：
，，
．
，
是等腰直角三角形．
抛物线的对称轴为直线．
设直线的表达式为．
将，代入，
得
解得．
直线的表达式为．
将代入，得．
．
点在射线上，
点的横坐标为3．
设，．
分三种情况：
①当，时，，如图2．
则轴，
点与点的纵坐标相同，为，
，
解得（不合题意，舍去），．
点的坐标为．
②当，时，，如图3，过点作于点．
由①得点的坐标为，
，
．
，，
．
点的坐标为．
③当，时，，如图4．
则轴，
点与点的纵坐标相同，为，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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