2024-2025学年江苏省无锡市太湖高级中学高二（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.直线经过，两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为( )
A. B. C. D.
3.若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
5.如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.设，，若点在线段上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在长方体中，，，为中点，则三棱锥外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知正方体棱长为，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，下面是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 已知向量，则在上的投影向量为
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 已知，，三点不共线对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
11.正方体棱长为，为空间中一点下列论述正确的是( )
A. 若，则的面积为定值
B. 若，三棱锥的体积为定值
C. 若，则平面平面
D. 若，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为______．
13.在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后，两点间的距离为 ．
14.正四面体棱长为，，且，以为球心且半径为的球面上有
两点，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足，．
求；
设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求，
16.本小题分
已知点，，为坐标原点，向量，计算：
求向量同向的单位向量；
若，求的值；
求点到直线的距离．
17.本小题分
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点若，
用表示；
求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为，为等腰直角三角形，，，，平面平面．
证明：平面；
求点到平面的距离；
棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别为，的中点，且．
若，求直线与平面所成角的余弦值；
若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：复数满足，．
所以，
所以，
故；
由得，
则，
，则，
，则，
所以，，．
故，．
16.解：因为，，
所以与所同向的单位向量为．
因为，，
又，所以，
即．
因为，，
向量在上的射影的绝对值为：，
设点到直线的距离为，则，所以．
17.解：在中，；
，，
，
，得，
，得，
，
．
18.解：平面平面，，平面平面，平面，
平面；
取中点，连接，，
为等边三角形，，
又平面平面，平面平面，
平面，又平面，
，
又根据题意可知为等腰直角三角形，且，
又也为等腰直角三角形，
，
，且，又，且，
平面，又平面，
平面平面，过作于点，
则平面，又易知，，，
，
即点到平面的距离为，
分别延长，交于点，则易知为的中位线，
点到平面的距离为点到平面的距离的一半，
点到平面的距离为；
如图，过作交于，过作交于，连接，
，平面，平面，
平面，
又，平面，平面，
平面，又平面，平面，，
平面平面，
而平面，平面，
此时，
，，又，
为的平分线，，
，
上存在一点，当时，平面．
19.解：连接，，如图所示：
由为的中点，可得，由平面，可得，
则平面，而在平面内，可得平面平面，
所以为直线与平面所成角．
由，，可得，，
，，
由余弦定理可得，
所以直线与平面所成角的余弦值为；
解：因为，点分别为的中点，所以，
又平面，所以，
所以即为平面与平面的夹角，记为，
又，所以平面，则平面平面，
过点在平面内作于，则平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
在中，，
又在中，，
所以，
由直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，可得，
所以，
则平面与平面的夹角的余弦值的取值范围是．
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