2024-2025九年级上学期学业评价（一）
数学
满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1.二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，中，，，，是的中点，的长是（ ）
A.5 B.10 C.2.4 D.2.5
4.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定根的情况
5.一次函数的图象过点，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
8.抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
9.下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A.（1）（2） B.（1）（4） C.（2）（4） D.（3）（4）
10.如图，已知菱形中，过中点作，交对角线于点，交的延长线于点.连接，若，，则的长是（ ）
A. B. C.4 D.
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11.因式分解：______.
12.如图，已知，点在直线上，点、在直线上，，，则的度数是______.
13.如图，在中，，，是边的中点，点是边的中点，若，则的长是______.
14.分式方程的解是______.
15.某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，客床可全部租出，若每张床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每张床每晚应提高______元.
16.抛物线（，，是常数，，）经过，，三点，且.在下列四个结论中：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则；
其正确结论的序号有______.
三、解答题（本题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17.（4分）解方程组.
18.（4分）已知：如图，，为线段上两点，，，.求证：.
19.（6分）某校为宣传中华民族的悠久历史和灿烂文化，激发学生传承非遗的兴趣，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行文化遗产知识测试（测试满分为100分，得分均为不小于60的整数），并将成绩分为四个等级：
，，，，
绘制了如图统计图（部分信息未给出）.
所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图 所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图
请结合统计图，解答下列问题：
（1）求测试成绩的等级为的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）若全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩的等级为和的学生共有多少人？
20.（6分）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，广东省2019年公共充电桩的数量约为4万个，2021年公共充电桩的数量多达11.56万个，位居全国首位.
（1）求广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计广东省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？
21.（8分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值.
22.（10分）如图，已知直线的图象与轴、轴交于、两点，，.
（1）求直线的函数表达式；
（2）在轴上有点，点在第一象限内，同时也在直线上，若面积等于4，求点的坐标；
（3）若是轴正半轴上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时的坐标.
23.（10分）如图，已知，，
（1）尺规作图：在上求作一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法.）
（2）若，，求的度数.
24.（12分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是第一象限抛物线上一点，连接，若分四边形面积为的两部分，求点的坐标；
（3）将（1）中的抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？
25.（12分）已知，以为边在外作等腰，其中.
图1 图2 图3
（1）如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点.若，则______；
（2）如图2，若，是等边三角形，，，求的长；
（3）如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论.
2024-2025九年级上学期学业评价（一）
数学答案
一、单选题
DAABB ADDBA
二、填空题
11. 12. 13. 14.
15.6 16.①②④
三、解答题
17.【解答】解：，
①-②得：，
把代入①得：，
方程组的解为：.
18.【解答】证明：，
即，
在与中，，
，
.
19.【解答】解：（1）抽取的学生数为：（人），
测试成绩的登记为的学生数：（人），
补全频数分布直方图如图所示；
（2）（人），
答：该校测试成绩的等级为和的学生共有1260人.
20.【解答】解：（1）设广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率为，
由题意得，
解得，（不合题意，舍去），
答：年平均增长率为.
（2），
答：预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个.
21.【解答】（1）证明：.
，
，即，
该方程有两个不相等的实数根.
（2）解：方程的两个实数根分别为、，
，.
又，
，即，
解得.
故的值为.
22.【解答】解：（1）经过点，，
，解得
所以，直线的表达式为；
（2），，，
，
点在点的右侧时，，
解得，此时，
点的坐标为，
（3）点的坐标为或
23.【解答】解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，
此时，
则点即为所求.
（2）由（1）可知，，.
，
，
.
24.解：（1），顶点的坐标为
，
，，
，，，
把代入，得
抛物线的解析式为
即
（2）设直线的解析式为，
直线交轴于，交于
则，
又，分四边形面积为的两部分
或
或，或
或，分别与抛物线的解析式联立
求得点坐标为或
（3）设平移后的抛物线解析式为
易求直线的解析式为
若向左平移抛物线，把代入
得，此时
若向右平移抛物线，令
得
当抛物线与线段只有一个公共点时，
即，得，此时
抛物线向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位，抛物线与线段有公共点
25.解：（1）
提示：，
又，，
，
（2）将绕点顺时针旋转得，连接
由（1）知，
，，是等边三角形
，
，
在中，
（3）
证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形
，，
是的垂直平分线，
在和中
，，，
，
即
，为锐角，
，
，
