十八 切线长定理
知识点1 利用切线长定理求线段长
1.如图,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,则CD的长为 ( )
A. B. C.2 D.3
2.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(2)求AC的长.
知识点2 利用切线长定理求角度
3.(2023·荆门中考)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO= ( )
A.30° B.35° C.45° D.55°
4.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点是A,B.如果OP=4,PA=2,那么∠AOB等于 ( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
5.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠P=44°.
(1)如图①,若点C为优弧AB上一点,求∠ACB的度数;
(2)如图②,在(1)的条件下,若点D为上一点,求∠PAD+∠C的度数.
6.如图,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为 ( )
A.50° B.62° C.66° D.70°
7.如图,☉O的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线,DE与☉O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点,BD,OC相交于点F,若CD=10,则BF的长是( )
A. B. C. D.
8.(2023·陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,☉O的半径为1.若☉O在正方形ABCD内平移(☉O可以与该正方形的边相切),则点A到☉O上的点的距离的最大值为 .
9.如图,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,切点分别为F,D,E,且∠ACB=90°,∠A,∠ABC,∠ACB所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是 .
10.(2023·衡阳中考)如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交CD于点E,连接BE.
(1)直线BE与☉O相切吗 并说明理由;
(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.
(选做)
11.(2023·恩施州中考)如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,直线PO交☉O于点D,E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE;
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE;
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.十八 切线长定理
知识点1 利用切线长定理求线段长
1.如图,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,则CD的长为 (C)
A. B. C.2 D.3
2.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(2)求AC的长.
【解析】(1)∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA=PB,且∠P=60°,∴△PAB是等边三角形;
(2)∵△PAB是等边三角形;
∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°,
∵BC是直径,PB是☉O的切线,
∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,∴∠ABC=30°,∴tan∠ABC==,∴AC=2×=(cm).
知识点2 利用切线长定理求角度
3.(2023·荆门中考)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO= (B)
A.30° B.35° C.45° D.55°
4.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点是A,B.如果OP=4,PA=2,那么∠AOB等于 (D)
A.90° B.100° C.110° D.120°
5.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠P=44°.
(1)如图①,若点C为优弧AB上一点,求∠ACB的度数;
(2)如图②,在(1)的条件下,若点D为上一点,求∠PAD+∠C的度数.
【解析】(1)∵PA,PB是☉O的切线,
∴∠OAP=90°,∠OBP=90°,
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-44°=136°,
∴∠ACB=∠AOB=68°;
(2)
6.如图,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为 (D)
A.50° B.62° C.66° D.70°
7.如图,☉O的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线,DE与☉O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点,BD,OC相交于点F,若CD=10,则BF的长是(A)
A. B. C. D.
8.(2023·陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,☉O的半径为1.若☉O在正方形ABCD内平移(☉O可以与该正方形的边相切),则点A到☉O上的点的距离的最大值为 3+1 .
9.如图,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,切点分别为F,D,E,且∠ACB=90°,∠A,∠ABC,∠ACB所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是 2 .
10.(2023·衡阳中考)如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交CD于点E,连接BE.
(1)直线BE与☉O相切吗 并说明理由;
(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.
【解析】略
(选做)
11.(2023·恩施州中考)如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,直线PO交☉O于点D,E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE;
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE;
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
【解析】略
