十四 垂径定理
知识点1 垂径定理
1.如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5.则CD的长为 (B)
A.2 B.4 C.4 D.8
2.(2023·南充中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD为 (C)
A.70° B.65° C.50° D.45°
3.(2023·安徽中考)已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= (D)
A. B.4 C. D.5
4.(2023·湖州中考)如图,已知AB是☉O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交☉O于点D.若∠APD是所对的圆周角,则∠APD的度数是 30° .
5.(2023·长沙中考)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 7 .
6.
如图,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,BC=3.
(1)求AB的长;
(2)求☉O的半径.
【解析】(1)连接AC,如图,∵CD⊥AB,
∴AF=BF,即CD垂直平分AB,
∴CA=CB=3.
∵AO⊥BC,∴CE=BE,即AE垂直平分BC,∴AB=AC=3;
(2)∵AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,
∵AE⊥BC,∴AE平分∠BAC,即∠OAF=30°.
在Rt△OAF中,∵OF=AF=×=,
∴OA=2OF=,即☉O的半径为.
知识点2 垂径定理的应用
7.
小明很喜欢钻研问题,一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示),让小明求瓦片所在圆的半径,小明连接瓦片弧线两端AB,量得的中心C到AB的距离CD=1.6 cm,AB=6.4 cm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 cm.
8.点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则OP的长为 (B)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
9.(2023·自贡中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是 (A)
A.9.6 B.4 C.5 D.10
10.如图,在半径为5的☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,EB.若CD=2,则EC的长为 (D)
A.2 B.8
C.2 D.2
11.(2023·合肥质检)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若CD=10,AB=18,小圆半径为13,则大圆半径OA= 15 .
12.(2023·凉山州中考)如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos ∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
13.某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为24 m,AB离地面的高度AE=10 m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等,都等于17 m,则MN= 10 m.
(选做)
14.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,D是的中点,BC与AD,OD分别交于点E,F.
(1)求证:DO∥AC;
(2)求证:DE·DA=DC2;
(3)若tan∠CAD=,求sin∠CDA的值.
【解析】(1)∵点D是的中点,OD是圆的半径,∴OD⊥BC.∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°,∴DO∥AC.
(2)∵=,∴∠CAD=∠DCB,
∴△DCE∽△DAC,∴DE·DA=CD2.
(3)∵tan∠CAD=,∴△DCE和△DAC的相似比为,设DE=a,则CD=2a,AD=4a,AE=3a,∴=3,即△AEC和△DEF的相似比为3,
设EF=k,则CE=3k,BC=8k,
又∵tan∠CAD=,
∴AC=6k,AB=10k,∴sin∠CDA=.十四 垂径定理
知识点1 垂径定理
1.如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5.则CD的长为 ( )
A.2 B.4 C.4 D.8
2.(2023·南充中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD为 ( )
A.70° B.65° C.50° D.45°
3.(2023·安徽中考)已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= ( )
A. B.4 C. D.5
4.(2023·湖州中考)如图,已知AB是☉O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交☉O于点D.若∠APD是所对的圆周角,则∠APD的度数是 .
5.(2023·长沙中考)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
6.
如图,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,BC=3.
(1)求AB的长;
(2)求☉O的半径.
知识点2 垂径定理的应用
7.
小明很喜欢钻研问题,一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示),让小明求瓦片所在圆的半径,小明连接瓦片弧线两端AB,量得的中心C到AB的距离CD=1.6 cm,AB=6.4 cm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm.
8.点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则OP的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
9.(2023·自贡中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是 ( )
A.9.6 B.4 C.5 D.10
10.如图,在半径为5的☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,EB.若CD=2,则EC的长为 ( )
A.2 B.8
C.2 D.2
11.(2023·合肥质检)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若CD=10,AB=18,小圆半径为13,则大圆半径OA= .
12.(2023·凉山州中考)如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos ∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
13.某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为24 m,AB离地面的高度AE=10 m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等,都等于17 m,则MN= m.
(选做)
14.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,D是的中点,BC与AD,OD分别交于点E,F.
(1)求证:DO∥AC;
(2)求证:DE·DA=DC2;
(3)若tan∠CAD=,求sin∠CDA的值.
