2024-2025学年第一学期九年级数学期中模考试卷
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2． 若，则的值为（ ）
A．－ B．－ C． D．
若点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，
则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
4． 若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
5． 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
6． 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
7 . 如图，用①，②，③表示三张背面完全相同的纸牌，正面分别写有个不同的条件，
小明将这三张纸片背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），
再随机抽出一张抽得的条件能判断四边形为平行四边形的概率是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，
动点从点出发到点止，点运动的速度为秒，点运动的速度为秒，
如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，
运动的时间是（ ）
A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒
9 .如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
10 . 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝CD；④S四边形CDEF＝S△ABF．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11． 四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，则线段c的长为______
一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，
从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，
发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 个．
已知是线段的黄金分割点，，若，则______
如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，
已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为 m．
15 . 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，
反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是 ．
如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，
连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：
①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；
④平分正方形的面积；⑤，
在以上5个结论中，正确的有 ．
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，
与是关于点P为位似中心的位似图形．
在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
(2) 以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，
使它与的位似比为2：1；
(3) 的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
四、解答题（本题满分68分）
18．解下列方程
(1)
(2)
19．如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长．
20．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为9m，请你计算DE的长．
九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，
决定要从A、B、C、D四名同学中随机选出2名同学参赛．
（1）请问选中B同学的概率是多少？
（2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率．
某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，
6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，
若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，
而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
在中，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，
动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点O的速度是，
它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（）．设运动时间为t秒，求：
(1)用含t的代数式表示，；
(2)当t为多少时，的长度等于？
(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象
交于点A (1， 3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
求反比例函数的表达式及n的值；
(2) 将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F，
① 请求出点F的坐标；
② 在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，
求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
参考解答
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1．D 2．D 3 .A 4．D． 5．D 6．A 7 .C 8. A 9 .C 10.C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11． 4cm 12 .12 13． 14．3 15 .4 16 .①②③⑤
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17．解：（1）如图，点P为所作；
故答案为：；
（2）如图，为所作；
（3）点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
四、解答题（本题满分68分）
18．解:（1）
所以；
（2）
或
所以
19．解：，，
，
，
，
的长为．
20．解：（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为9m，
∴＝，
解得：DE＝13.5m，
答：DE的长为13.5m．
21.解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选中B同学的结果有6种，
同时选中A、C两名向学的结果有两种，
（1）选中B同学的概率是；
（2）A、C两名同学被选中的概率为：．
22.（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
尽可能让顾客得到实惠，
该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
23．解:（1）由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm，
AC=20cm，CP=(20-4t)cm，
点P在AC上运动，
4t≤20，即t≤5，
点Q在BC运动，
2t≤15，
t≤7.5，
0≤t≤5，
故答案为：CQ=2t cm，CP=(20-4t)cm，0≤t≤5；
（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，
，
，
解得：或(舍去)，
故答案为：2；
（3）以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且∠C=∠C=90°，
∴①△CPQ∽△CAB，
，
，
t=3，
②△CPQ∽△CBA，
，
，
，
即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，
故答案为：3或．
24．解：（1）∵直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n），
∴把A （1，3）代入y得，3，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y，
把B（3，n）代入y得，n1；
（2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4，
∴点C （4，0），点D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵将△OCD沿直线AB翻折，
∴四边形OCED是正方形，
∴DE＝CE＝4，
∴E（4，4），
把x＝4代入y中得，y，
∴F（4，）；
②存在，
理由：设点P（m，0），
∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4）2，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
∴DP2+PF2＝FD2，
即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4）2，
解得：m＝1或m＝3，
25．解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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