2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
一、选择题
1.过点A(,1)且倾斜角为120° 的直线方程为 ( )
A.y=-x-4 B.y=-x+4
C.y=-x-2 D.y=-x+2
2.已知直线的倾斜角为60°,直线在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为 ( )
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
3.直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的斜率是直线x-y=3的斜率的相反数,则 ( )
A.m=-,n=1
B.m=-,n=-1
C.m=,n=-1
D.m=,n=1
4.直线y+2=k(x+1)所过定点的坐标为 ( )
A.(2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(1,2)
5.[2024·重庆开州中学高二月考] 已知一次函数y=kbx与y=kx+b(k,b为常数,且kb≠0),它们在同一坐标系内的图象可能为 ( )
A B C D
6.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为 ( )
A.-1 B.3
C.7 D.8
7.[2024·重庆重点中学高二月考] 设直线l的方程为x+ycos θ+2=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.[0,π] B.
C.∪ D.
8.(多选题)[2024·安徽合肥六校联盟高二期中] 下列说法正确的是 ( )
A.直线y=ax-2a+1必过定点(2,1)
B.直线3x-2y+4=0在y轴上的截距为-2
C.直线x+y+1=0的倾斜角为
D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,则该直线l的斜率为-
9.(多选题)已知直线l过点P(1,),且与x轴和y轴围成一个有一个内角为的直角三角形,则满足条件的直线l的方程可以是 ( )
A.y-=-(x-1)
B.y-=-(x-1)
C.y-=(x-1)
D.y-=(x-1)
二、填空题
10.[2024·长沙高二期中] 已知直线l与直线y=x+4互相垂直,直线l与直线y=x+6在y轴上的截距相等,则直线l的方程为 .
11.已知直线l经过点(2,1),且和直线y=x-的夹角为30°,则直线l的方程是 .
12.[2024·广东东莞高二期中] 已知线段AB的端点A(-1,3),B(5,2),直线l:kx-y-2k-3=0与线段AB相交,则k的取值范围是 .
三、解答题
13.已知直线l的倾斜角为60°.
(1)若直线l过点P(,-2),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距为4,求直线l的方程.
14.[2024·河南信阳高二期中] 已知A(1,1),B(2,3),C(4,0).求:
(1)过点A且与BC平行的直线方程;
(2)线段AB的垂直平分线的方程;
(3)过点A且倾斜角为直线AB倾斜角2倍的直线方程.
15.已知点A(2,0),B(-1,0),C(0,1),直线y=kx将△ABC分割为两部分,则当这两部分的面积之积取得最大值时,实数k的值为 .
16.已知直线l:y=k(x-2)+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条,求正实数m的取值范围.
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
1.B [解析] 倾斜角为120°的直线斜率为-,故直线的点斜式方程为y-1=-(x-),整理得y=-x+4.故选B.
2.D [解析] 直线的斜率为tan 60°=,则由题意可知,所求直线的方程为y=x-2.故选D.
3.D [解析] 因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,所以0-3n+3=0,解得n=1.直线x-y=3的斜率为,由已知可得,直线mx+y+3=0的斜率为-,即-m=-,所以m=.故选D.
4.C [解析] 因为直线方程为y+2=k(x+1),所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1,-2).故选C.
5.C [解析] 记l1:y=kbx,l2:y=kx+b.对于选项A,由直线l1得kb>0,由直线l2得k>0,b<0,∴kb<0,∴A错误;对于选项B,由直线l1得kb>0,由直线l2得k<0,b>0,∴kb<0,∴B错误;对于选项C,由直线l1得kb<0,由直线l2得k<0,b>0,∴kb<0,∴C正确;对于选项D,由直线l1得kb<0,由直线l2得k>0,b>0,∴kb>0,∴D错误.故选C.
6.C [解析] 依题意得kAB==-2,∴线段AB的方程为y-1=-2(x-4),x∈[2,4],即y=-2x+9,x∈[2,4],故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x∈[2,4].设h(x)=4x-9,x∈[2,4],易知h(x)=4x-9在[2,4]上单调递增,故当x=4时,h(x)max=4×4-9=7.故选C.
7.D [解析] 当θ=+kπ(k∈Z)时,直线l:x=-2,则其倾斜角为;当θ≠+kπ(k∈Z)时,直线l:y=-x-,则其斜率k=-∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),∴α∈∪.综上所述,直线l的倾斜角α的取值范围为.故选D.
8.AC [解析] 对于A,由y=ax-2a+1整理得y-1=a(x-2),所以该直线经过定点(2,1),故A正确;对于B,对于3x-2y+4=0,令x=0,解得y=2,故该直线在y轴上的截距为2,故B错误;对于C,直线x+y+1=0的斜率k=-,设该直线的倾斜角为θ,则k=tan θ=-,由于θ∈[0,π),故θ=,故C正确;对于D,直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,则直线l的一个方向向量为v=(-3,1),所以直线l的斜率为-,故D错误.故选AC.
9.ABC [解析] 由题意知,直线l的倾斜角可以是或或或,所以直线l的斜率k=tan=或k=tan=或k=tan=-或k=tan=-,所以直线l的方程可以为y-=(x-1)或y-=(x-1)或 y-=-(x-1)或y-=-(x-1).由y-=(x-1),整理得y=x,此时直线l过原点,无法与x轴和y轴围成直角三角形,舍去.故选ABC.
10.y=-2x+6 [解析] ∵直线l与直线y=x+4互相垂直,∴直线l的斜率为-2.∵直线l与直线y=x+6在y轴上的截距相等,∴直线l经过点(0,6),故直线l的方程为y=-2x+6.
11.y=1或y=x+1-2 [解析] 直线y=x-的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以直线l的倾斜角为0°或60°.当直线l的倾斜角为60°时,直线l的方程为y-1=(x-2),即y=x+1-2;当直线l的倾斜角为0°时,直线l的方程为y=1.故直线l的方程为y=1或y=x+1-2.
12.(-∞,-2]∪ [解析] 直线l:kx-y-2k-3=0,即y+3=k(x-2),∴直线l过定点P(2,-3),且斜率为k.如图,直线PA的斜率kPA==-2,直线PB的斜率kPB==,∵直线l与线段AB相交,∴k的取值范围是(-∞,-2]∪.
13.解: (1)∵直线l的倾斜角为60°,∴直线l的斜率为tan 60°=,又直线l过点P(,-2),∴由直线的点斜式方程得,直线l的方程为y-(-2)=(x-),即y=x-5.
(2)∵直线l在y轴上的截距为4,∴由直线的斜截式方程得,直线l的方程为y=x+4.
14.解:(1)kBC==-,故过点A且与BC平行的直线方程为y-1=-(x-1),即3x+2y-5=0.
(2)线段AB的中点为,kAB==2,故线段AB的垂直平分线的斜率为-,故所求直线方程为y-2=-,即2x+4y-11=0.
(3)设直线AB的倾斜角为α,则tan α=2,故tan 2α==-,故所求直线方程为y-1=-(x-1),即4x+3y-7=0.
15. [解析] 由题意,直线y=kx将△ABC分割为两部分,不妨记两部分的面积分别为S1,S2,故S△ABC=S1+S2=×|AB|×|OC|=(O为坐标原点),且S1>0,S2>0,结合基本不等式可得=S1+S2≥2,即S1S2≤,当且仅当S1=S2=时等号成立,即直线y=kx将△ABC分割为面积相等的两部分时两部分的面积之积最大.因为S△OBC=×1×1=<,所以若两部分的面积相等,则直线y=kx与线段AC相交,设交点为D(xD,yD),故S△OAD=|OA|×yD=yD=,易知直线AC的方程为y=-(x-2),将yD=代入可得xD=,故D,由D在直线y=kx上,得k=.
16.解:由题意知k≠0,∵直线l:y=k(x-2)+3与x轴、y轴的交点分别是A,B(0,3-2k),
∴S△AOB=××|3-2k|=×.
当k>0时,S△AOB=×=×,∵4k+≥2=12,当且仅当k=时取等号,
∴当m>0时,存在两个k(k>0)满足S△AOB=m.
当k<0时,S△AOB=×=×,∵-4k+≥2=12,当且仅当k=-时取等号,
∴当0
综上,若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条,则正实数m的取值范围是(12,+∞).
