期中考试试卷解析
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C D C B C C C D ABD BCD ABD
12．【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得且.故答案为：.
13．【分析】由原命题为假，其否定为真得到在上恒成立，结合对应函数的单调性求右侧的最大值，即可得参数范围.
【详解】由题设命题为假，则为真，所以，即在上恒成立，又在上递增，故，所以.故答案为：
14．
【分析】通过直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可.
【详解】由，可得，即，由，可得在上恒成立，
即，解得，
又集合A是非空集合，所以在上有解，则，解得或，
综合可得：．故答案为：
15．(1)或， (2)或
【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果；
（2）因为，所以，分和两种情况求解即可.
【详解】（1）根据题意：集合，集合或，或，
（2）因为，所以，若，则，若，则，得时，可得，实数的取值范围为或 .
16．(1)
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.
【详解】（1）当时，；
当时，，
.
（2）若，，当时，万元；若，，当且仅当时，即时，万元．
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
17．(1)1 (2) (3)
【分析】（1）由题意把代入式中可求值；（2）将代入方程可求解；（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可．
【详解】（1）．
（2），原方程可化为：，即：，，即，解得：．
（3）
，当且仅当，即时，等号成立，
有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．
18．(1)和3 (2) (3)
【分析】（1）按照不动点的定义计算即可；（2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即可；（3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可.
【详解】（1）当，时，由，解得或，
故所求的不动点为和3.
（2）令，则①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，即对任意的恒成立，则，∴.
（3）依题意设，，则AB中点C的坐标为，又AB的中点在直线上，∴，∴，
又，是方程①的两个根，∴，即，
∴，∵，∴.所以时，b的最小值为.
19．(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3)
【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，又因为，所以，解得，所以，，则为奇函数，
所以，.
（2）在上单调递减.证明如下：设，则，因为，则，所以，所以在上单调递减.
（3）由（2）可知在上单调递减，所以，记在区间内的值域为.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为.因为，所以对任意的，总存在，使得成立.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为，因为，所以对任意的，总存在，使得成立.，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，所以无解，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，不符合题意.综上，非负实数的取值范围为.2024—2025学年度上学期2024级
期中考试数学试卷
出题人:朱鑫 审题人：刘超
考试时间：2024年10月25日
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
5．函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若对任意满足的正数a，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若定义在上的函数满足，则下列说法成立的是（ ）
A．无理数，，
B．对任意有理数m，有
C．，
D．，
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值
C． D．在上是增函数
三、填空题
12．函数的定义域为 .
13．若“”为假命题，则实数a的取值范围为 .
14．已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是
四、解答题
15．已知全集，集合，集合，集合．
(1)求，
(2)若，求实数m的取值范围．
16．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
17．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若，解方程；
(3)若正数满足，求的最小值．
18．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值.
19．已知是定义在上的奇函数，其中，且.
(1)求a,b的值；
(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围
