2024—2025学年度上学期2024级
期中考试数学试卷
考试时间：2024年10月25日
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
5．函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若对任意满足的正数a，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若定义在上的函数满足，则下列说法成立的是（ ）
A．无理数，，
B．对任意有理数m，有
C．，
D．，
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值
C． D．在上是增函数
三、填空题
12．函数的定义域为 .
13．若“”为假命题，则实数a的取值范围为 .
14．已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是
四、解答题
15．已知全集，集合，集合，集合．
(1)求，
(2)若，求实数m的取值范围．
16．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
17．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若，解方程；
(3)若正数满足，求的最小值．
18．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值.
19．已知是定义在上的奇函数，其中，且.
(1)求a,b的值；
(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围期中考试试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D C B C C C D ABD BCD ABD
13．
17．(1)1 (2) (3)
18．(1)和3 (2) (3)
19．（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，又因为，所以，解得，所以，，则为奇函数，
所以，.
（2）在上单调递减.证明如下：设，则，因为，则，所以，所以在上单调递减.
（3）由（2）可知在上单调递减，所以，记在区间内的值域为.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为.因为，所以对任意的，总存在，使得成立.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为，因为，所以对任意的，总存在，使得成立.，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，所以无解，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，不符合题意.综上，非负实数的取值范围为.
答案第10页，共11页
