河北省承德市双滦区实验中学
2024—2025学年高三第一学期10月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．若全集，集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数,若实数,则函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9．若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的充要条件
C．是的充要条件 D．是的充要条件
10．已知，，下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值是
C．的最小值是8 D．的最小值是
11．已知函数是定义域为的奇函数，且，则（ ）
A． B．的一个周期是3
C．的对称中心是 D．
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ．
13．某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件 元.（利润=售价-进价）
14．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本小题12分)已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值组成的集合．
16．(本小题15分)近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
17．(本小题15分)已知函数，且.
(1)求实数的值，在图中作出的图象（可直接作图，不用书写过程），并求函数有个不同的零点时实数的取值范围；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
18．(本小题17分)已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有.
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
19．(本小题17分)已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D B B C D BD ACD
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故选：A.
2．A
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】“，”的否定是：，.
故选：A
3．D
【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.
【详解】对于A，，
因为，所以，
所以，即，故A错误；
对于B，因为，所以，
又，所以，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，若，则，
所以，故D正确.
故选：D.
4．D
【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
则对于函数，需满足，
解得，即函数的定义域为.
故选：D.
5．B
【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论．
【详解】易知函数定义域为，
且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称；
又当时，，因此排除A，
又，
利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD，
故选：B.
6．B
【分析】分析可知为奇函数，且在内单调递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】因为的定义域为，且，
可知函数为奇函数，
当，则，
且的开口向上，对称轴为，
可知在内单调递增，
由奇函数性质可知在内单调递增，
所以在内单调递增，
若，则，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
7．C
【分析】根据题意，问题可转化为对任意的恒成立，由题设条件得到，进而得到，接着结合基本不等式求得最小值得到即可求实数的取值范围.
【详解】因为对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
又因为，可得，
则，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为，所以，可得，即，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
8．D
【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.
【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.
9．BD
【分析】根据命题的充分必要性直接得解.
【详解】由是的必要条件，即是的充分条件，又是的充分条件，所以是的充分条件，无法推到命题，A，C选项错误；
又是的必要条件，所以是的充要条件，B选项正确；
所以是的充要条件，D选项正确；
故选：BD.
10．ACD
【分析】由条件等式，有，可求的范围判断选项A；利用基本不等式求和的最小值判断BCD.
【详解】，由，解得，A正确；
，
当且仅当时，等号成立，而此时不存在，B错误；
由，得，所以，
当且仅当，即时，等号成立，C正确.
由，得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】根据的周期性，奇偶性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由，可得，
所以有，所以是周期为的周期函数，选项B正确；
又是上的奇函数，知，可得，
无法确定，的值，选项A错误；
由，及，可得，
所以的图象关于点对称，选项C正确；
由的周期为3，
得，选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
12．
【分析】根据题意作出示意图，结合图形可求不等式的解集.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，
作出示意图如图所示：
由图形可知满足不等式的的取值范围是.
故答案为：.
13．30
【分析】根据题意建立函数关系，利用换元法，构造二次函数，结合其性质求得最大值，可得答案.
【详解】设日利润为，则，
令，由，则，可得，
由二次函数的对称轴，当时，取得，此时日利润最大，
故当，即时，日利润最大.
故答案为：.
14．
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）解方程可得集合与，结合集合间的运算可得解；
（2）由，分与两种情况讨论.
【详解】（1）由已知，
又，则，解得，
即，
则，；
（2）由（1）得，
又，
当，即时，，
当时，，则或，
解得或；
综上所述，或或，
即.
16．(1)
(2)当万元时，取最大值万元.
【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到；
（2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案.
【详解】（1），
因为，所以；
（2），
又因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故当万元时，取最大值万元.
17．(1)；作图见解析，
(2)
【分析】（1）根据函数值直接可得参数值，再根据基本初等函数的性质作出函数图象，将函数零点转化为两函数交点问题，根据函数的单调性与值域情况，数形结合可得解；
（2）根据函数的单调性可得范围，解不等式即可.
【详解】（1）因为，所以，
易知当时，函数单调递增，且，
当时，函数单调递减，且，
当时，函数单调递增，且，
函数的大致图象如图所示，
令，即，
故有三个零点可转化为方程有个不同的实根，
即函数与函数有个交点，
由图象可知；
（2）由（1）可知，函数在区间和上分别单调递增，
因为，
且函数在区间上为增函数，
所以可知，
解得或
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令即可求出.
（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据恒成立，可求待定系数.
（3）问题转化成在区间的最小值不小于在上的最小值求参数的取值范围.
【详解】（1）在不等式，令.
（2）因为为二次函数且图象过原点，所以可设，
由，于是，
由题：恒成立
，
检验知此时满足，故.
（3）函数，开口向上，对称轴，所以在区间上单调递增，因此，时，，即，
而在上单调递减，所以时，
因为对任意，均存在，使得，
等价于
19．(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解.
【详解】（1），，
，解得，
.
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
所以函数在上单调递减.
（3）由对任意恒成立得，
由（2）知在上单调递减，
函数在上的最大值为，
，
所求实数的取值范围为.
