2024年九年级一元二次方程
一、单选题
1．（23-24九上·深圳·期中）将一元二次方程化成一般形式之后，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．， B．5， C．5，7 D．，5
2．（23-24九上·深圳·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九上·贵州六盘水·阶段练习）已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（ ）
… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
A． B．
C． D．
4．（23-24九上·四川绵阳·阶段练习）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九上·深圳·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（20-21九上·广东中山·期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·济宁·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．（23-24九上·深圳·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
10．（23-24九上·湖南株洲·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
11．（23-24九上·东莞·阶段练习）如若关于x的方程有一个根为， 则a的值是（ ）
A．9 B．5 C．3 D．
12．（23-24九上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
13．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
14．（23-24九上·深圳·期中）方程的解为（ ）
A． B．， C． D．无解
15．（23-24九上·陕西榆林·阶段练习）一元二次方程的两个根分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
16．（21-22九上·陕西西安·期末）一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
17．（九上·深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．，
18．（23-24九上·深圳·期中）若，是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．15 C． D．5
19．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
21．（九上·深圳·期中）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
22．（22-23九上·四川南充·期末）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．（23-24九上·深圳·期中）小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
24．（23-24九上·深圳·期中）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．（23-24九上·深圳·期中）某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
27．（23-24九上·深圳·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．（九上·哈尔滨·开学考试）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场（单循环比赛）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请（ ）个队参赛．
A．6 B．7 C．8 D．9
29．（22-23九上·广东佛山·阶段练习）如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是( )
A． B． C． D．
30．（16-17九上·深圳·期末）某学校2013年年底调查学生的近视率为15%,经过两年的时间,2015年年底再次调查该校学生的近视率为20%,设该校这两年学生人数总数不变,学生近视率年均增长率为x,则以下所列方程正确的是（ ）
A．(1+x)+15%(1+x)2=20% B．15%(1+x%)2=20%
C．15%(1-x)2=20% D．15%(1+x)2=20%
31．（2016·深圳·中考真题）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
32．（23-24九上·深圳·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ．
33．（23-24九上·深圳·期中）已知是方程的一个根，则实数k的值为 ．
34．（23-24九上·深圳·期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 .
35．（23-24九上·深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
36．（23-24九上·深圳·期中）将方程化为一般形式，可知一次项系数为 ．
37．（22-23九年级下·深圳·期中）若关于的一元二次方程的解，则的值是 ．
38．（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ．
39．（23-24九上·深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ；
40．（22-23九上·深圳·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
41．（23-24九上·深圳·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是
42．（23-24九上·深圳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
43．（2022·深圳·中考真题）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
44．（2024·深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
45．（2021·深圳·中考真题）已知方程的一个根是1，则m的值为 ．
46．（22-23九上·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ．
47．（21-22九上·深圳·期末）若关于x的二次方程（m﹣1）x2＋2mx＋m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
48．（23-24九上·深圳·期中）若是方程的一个根，则方程的另一根是 ．
49．（23-24九上·深圳·期中）已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为 ．
50．（23-24九上·绥化·阶段练习）设，是方程的两实数根，则 ．
51．（2023·四川雅安·中考真题）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
52．（2023·湖南·中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
53．（2023·遂宁·中考真题）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
54．（2023·深圳·二模）关于的一元二次方程的一个根是3，另一个根是，则 ．
55．（23-24九上·深圳·阶段练习）中国男子篮球职业联赛（简称：），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．常规赛共要赛场，则参加比赛的队共有 支．
56．（22-23九上·深圳·阶段练习） 次围棋 赛，要求参赛的每两位棋 之间都要 赛 场，根据赛程计划共安排45场 赛，设本次 赛共有x个参赛棋 ，则可列 程为 ．
57．（22-23九上·深圳·阶段练习）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降，受此影响，某种药品两次降价后，价格由每盒160元大幅调整为40元，则该药品平均每次降价的百分率为 ．
58．（2022·深圳·二模）一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程： ．
59．（20-21九上·深圳·期末）云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2018年花卉的产值是640万元，2020年产值达到1000万元．若2021年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同）．那么请你估计2021年这个乡的花卉的产值将达到 万元．
60．（24-25九上·深圳·开学考试）如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 秒．
三、解答题
61．（22-23九上·深圳·阶段练习）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
(1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；
(2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
62．（19-20九上·江苏镇江·阶段练习）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；
(2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
63．（23-24九上·深圳·期中）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
答：________________________________________________．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，要想每天获得元的利润，应如何定价？
64．（23-24九上·深圳·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，就深受大家的喜爱，某商店销售这种吉祥物，每件进价元，规定销售单价不能超过每件元，试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，设每天的销量为，销售单价上涨元．
(1)则与的函数关系式是________．
(2)每件吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利元？
65．（23-24九上·深圳·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店销售这种吉祥物，每件进价60元，规定销售单价不能超过每件100元，试销售期间发现，当销售单价定为80元时，每天可售出100件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件，设每天销售量为y件，销售单价上涨x元．
(1)则y与x的函数关系式是 ．
(2)每件吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2250元？
66．（23-24九上·深圳·期中）惠农商行以7200元的成本收购某种农产品，目前可以以12元/的售价全部售出，如果储存起来待涨价后销售，则每周会损耗，且每周须支付其他费用1000元，但每周每千克会涨价2元．根据往年市场行情可知售价不能超过40元．请解答下列问题．
(1)当前直接出售可获利__________元；
(2)储存几周后出售利润可达到4960元？
67．（23-24九上·深圳·期中）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
(2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
68．（23-24九上·深圳·期中）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．
(1)涨价后，每本书的利润为 元，每天的销售量为 本；（用含有x的代数式表示）．
(2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
69．（23-24九上·深圳·期中）“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元．
(1)当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；
(2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
70．（23-24九上·深圳·期中）数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现：一种纯牛奶进价为每箱元，厂家要求每箱售价在元之间，若以每箱元销售，则平均每天销售箱．
(1)在月份，每箱价格每降低元平均每天可多销售箱．现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
(2)在月份，每箱价格每降低元平均每天可多销售箱，当降低元时每天的销量为______箱．
71．（23-24九上·深圳·期中）某商店销售一款袋装食品，每袋的成本价为40元，按物价部门规定，每袋的售价大于40元但不得高于70元，且为整数．经市场调查发现，当每袋的售价为50元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋的售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋的售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款食品售价为x元．
(1)若该商店这款袋装食品日均销售额为3000元，求x的值；【销售额=销售量售价】
(2)是否存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．【毛利润=销售量（售价-成本价）】
72．（23-24九上·深圳·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
73．（22-23九上·深圳·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)写出每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系；
(2)若商场每天要获利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
74．（2023九上·江苏·专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知，则 ；
（3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
【拓展结论】
（4）已知实数x、y满足，求的最大值．
75．（2022·深圳·二模）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a 1 2 3 4 5 … 8 …
S 1 3 6 … …
【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 ．
【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．
76．（22-23九上·深圳·期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即（ ）=4；
第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：
【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________．
77．（19-20九上·安徽合肥·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
78．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习） 探究不同长方形周长与面积的关系
一、项目化情境与问题
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示
根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？
二、项目支架与探究
为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶
探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由．
三、项目成果
长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值．
79．（22-23九上·北京海淀·开学考试）阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
探究方程是否存在常数根．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答： ．
参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 ；
（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积= ．
80．（23-24九上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值．
解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以．
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值．
81．（2022·湖北黄石·一模）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
82．（23-24九上·广东佛山·阶段练习）[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整；
第一步：将原方程变形为x（________）；
第二步：画四个________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
[拓展应用]：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________．
83．（22-23九上·广东佛山·期中）请阅读下列材料：
我们可以通过配方，利用平方的非负性来求出代数式的最值．
例如：①请求出代数式的最值．
，且，
∴当时，代数式有最小值．
②请求出代数式的最值．
，且．
∴当时，代数式有最大值2．
请根据上述方法，解决下列问题：
(1)当x= ，代数式有最 （填“大”，“小”）值为
(2)代数式有最小值2，求k的值．
(3)应用拓展：如图，现在有长度24m的围栏，要利用一面墙（墙的最大可用长度为15m）来围成菜园，的长度不大于墙的长度，要围成中间有一道围栏的矩形菜园，请问菜园的长和宽分别为多少时，菜园有最大面积？
84．（22-23九上·湖南常德·期中）阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
85．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
86．（21-22九上·北京·期中）求解一元一次方程，根据等式的性质，把方程转化为的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来求解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用转化的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，从而可得方程的解．
（1）问题：方程的解是，________，________；
（2）拓展：用“转化”的思想求方程的解．
87．（2024·广东东莞·一模）综合与探究
【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
【知识运用】
（）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）：
______；
______；
（）试比较与与的大小，并说明理由；
【类比运用】
（）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由．
88．（23-24九上·江苏无锡·阶段练习）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______；
(2)已知满足，求的值；
(3)已知．满足，则正整数的最小值为______．
89．（23-24九上·广东佛山·阶段练习）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：最小值是______
(2)代数式有最大值，最大值是多少？
90．（23-24九上·广东东莞·阶段练习）阅读与思考
阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程的两根为，则，．
材料2 已知实数m，n满足，且，求的值．
解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，，
．
根据上述材料解决下面的问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则_________，_________．
(2)已知实数m，n满足，且，求的值．
(3)已知实数p，q满足，且，求的值．
91．（2024·广东广州·三模）已知．
(1)化简A；
(2)若a、b是方程的两根，求A的值．
92．（23-24九上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
93．（2024·广东广州·一模）已知．
(1)化简；
(2)若，是方程的两个根，求的值．
94．（23-24九上·广东广州·期中）【阅读材料1】
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，．
我们将上述解题的方法叫换元法．
【阅读材料2】
已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
解方程，可设__________，原方程可化为__________．
经过运算，原方程的解是__________．
(2)间接应用：
已知实数，满足，，且，求的值．
95．（23-24九上·广州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为，且，求的值．
96．（23-24九上·广东广州·期中）已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形
(2)若，求的值．
97．（23-24九上·广州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m的值使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
98．（23-24九上·北京西城·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
99．（23-24九上·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 （k是整数）．
(1)求证：无论k为何值，方程总是有两个不相等的实数根．
(2)方程的两个不等的实数根分别为，若，求k的值．
100．（23-24九上·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C B C C B C D
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B B C B D C A C A C
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 D C D C A D B C A D
题号 31
答案 B
1．D
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，因此此题可把方程化为一般形式，然后问题可求解．
【详解】解：由方程化为一般形式为，
∴一次项系数和常数项分别为，5；
故选D．
2．D
【分析】此题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后化简后，看是否只含有一个未知数且未知数的最高次数为2．
【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意；
是二元二次方程，故B不符合题意；
是分式方程，故C不符合题意；
是一元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
由表中数据得当时，；
当时，
所以方程的解为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．C
【分析】只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义分析判断即可．
【详解】解：A. ，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故不符合题意；
B. ，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意；
C. ，是一元二次方程，符合题意；
D. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的识别，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．
5．B
【分析】首先把常数项移到等号右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可．
【详解】解：移项得：
配方得：
即：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6．C
【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
7．C
【分析】利用直接开平方法解方程即可求解．
【详解】解∶，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，且，
解得且，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况．熟记“一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根”是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
10．D
【分析】算出一元二次方程根的判别式的值，根据它的值进行判断即可．
【详解】，，，
∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键．
11．B
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键．
12．B
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：，，，
，
该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
14．B
【分析】本题考查一元二次方程的解，采用因式分解法解该方程即可解答．
【详解】，
因式分解得：，
可化为或，
解得：，．
故选：B
15．D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程直接求解即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的两个根分别为，，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．
16．C
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵x2=x，
∴x2-x=0，
则x（x-1）=0，
∴x=0或x-1=0，
解得x1=0，x2=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17．A
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出，结论C错误；D、由，可得出、异号，结论D错误．综上即可得出结论．
【详解】解：A、 ，
，结论正确，符合题意；
B、、是关于的方程的两根，
，
的值不确定，
结论不一定正确，不合题意；
C、、是关于的方程的两根，
，结论错误，不合题意；
D、，
、异号，结论D错误，不合题意．
故选：A．
18．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．若是的两根，则，．根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：C．
19．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
20．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
21．D
【分析】根据一元二次方程的根的意义求得的值，根据根与系数的关系求得的值，将化为，进而代入求解即可．
【详解】 a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，
故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
22．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得：．
故选：C．
23．D
【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程，根据长方形的面积公式列出方程是解题的关键．
【详解】解：设原正方形的边长为，
根据题意列方程得：，
化简得：，
故选：D．
24．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程应用，设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格得第二次降价后的价格是，进而列方程是解决问题的关健．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
故选：C．
25．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a，每次降价的百分率为x，则第一次降价后为；第二次降价后为，即：原数降价的百分率降低后的售价．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为为，
则，
解得：，（舍去），
故选A．
26．D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
27．B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴．
故选：B．
28．C
【分析】可设比赛组织者应邀请队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
【详解】解：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
共场比赛．
设比赛组织者应邀请队参赛，
则由题意可列方程为：．
解得：，（舍去），
所以比赛组织者应邀请8队参赛．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
29．A
【分析】求出平行于墙的一边的长度，即可建立一元二次方程．
【详解】解：∵鸡场垂直于墙的一边为 xm ，
∴平行于墙的一边的长度为：m
∴
故选：A
【点睛】本题考查图形与一元二次方程．正确理解题意是解题关键．
30．D
【详解】试题解析：该市学生近视率年均增长率为x，根据题意得
15%（1+x）2=20%，
故选D．
31．B
【详解】试题分析：依题意，当时，，解得：
考点：应用新知识解决问题.
32．3
【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【详解】解：∵是的一个根，
∴，
∴，
故答案为：3．
33．3
【分析】
本题考查了一元二次方程的解定义，解题的关键是熟练掌握掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【详解】解：将代入方程，
得：
解得：，
故答案为：3．
34．4
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得，即可得，掌握一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程”是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，
，
故答案为：4．
35． 1.3 1.4
【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间，
即：．
故答案为：1.3，1.4．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
36．
【分析】通过整式乘法、移项、合并同类项将原方程化成一般形式即可．
【详解】解：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了将一元二次方程化成一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为是解答本题的关键．
37．2023
【分析】把代入求得的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【详解】解： 关于的一元二次方程的解，
，
，
，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题时利用整体代入的数学思想是解题的关键．
38．2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
39．2
【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．
把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
40．1
【分析】根据一元二次方程的解的定义：使等式成立的x的值，是方程的解，将代入方程进行计算即可．
【详解】解：把代入可得，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数的问题．熟练掌握一元二次方程的解的定义，是解题的关键．
41．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，首先考虑是一元一次方程的情况，再考虑是一元二次方程时，利用时有实数根得出不等式即可．
【详解】解：当方程是一元一次方程时，可得；
当方程是一元二次方程时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，，
∴，，
综上，m的取值范围是，
故答案为：．
42．
【分析】根据题意得根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．
43．9
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
44．
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案为：．
45．2
【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解．
【详解】解：将代入得：，解得．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键．
46．4
【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
47．m＞且m≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：，进而即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞且m≠1．
故答案为：m＞且m≠1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式，根据定义解不等式是解题的关键．
48．
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，设该方程的另一根为，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，然后求解答案即可．
【详解】解：设方程的另一根为，
根据一元二次方程的根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一根是．
故答案为：．
49．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“关于的一元二次方程根与系数的关系：”是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴．
故答案为：．
50．2018
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再计算，则原式可化简为，然后利用根与系数的关系求解．
【详解】解：是方程的两实数根，
，
，
原式，
是方程的两实数根，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据已知将原式化简，利用根与系数的关系是解答此题的关键．
51．
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于，得到关于m的一元一次方程，解之即可求解．
【详解】设方程的另一个根为m，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系．
52．5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
53．2
【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
54．
【分析】根据方程的一个根是3，另一个根是，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是3，另一个根是，
∴，
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
55．
【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛72场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x支，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
56．x(x-1)=45
【分析】根据关系式：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．
【详解】解：本次比赛共有x个参赛棋手，根据题意，可列方程为：x(x-1)=45．
故答案为：x(x-1)=45．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
57．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
该药品平均每次降价的百分率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
58．10×6x2=1500
【分析】正方体盒子的外表面是由6个边长相等的正方形围成的，设正方体的棱长是xdm，根据题意得出方程即可求解．
【详解】解：设正方体的棱长是xdm，
则10×6x2=1500，
故答案为：10×6x2=1500
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
59．
【分析】设年平均增长率为x，由增长率问题的数量关系建立方程求解，根据求出的x的值由增长率问题的数量关系就可以求出结论．
【详解】解：设花卉产值的年平均增长率为x，由题意，得
640（1+x）2=1000，
解得：x1=0.25，x2=-2.25（不合题意，舍去），
∴x=0.25=25%．
∵2021年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），
∴1000（1+25%）=1250（万元）
答：2021年这个乡的花卉的产值将达到1250万元．
故答案为：．
【点睛】本题考查列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由增长率问题的数量关系建立方程是关键．
60．1
【分析】根据动点P以的速度移动，动点Q以的速度移动，运动时间为 ，则，，，根据三角形面积列式解答即可．
本题考查了三角形的面积，解方程，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
当时，，比大，舍去
故
故答案为：1．
61．(1)
(2)6元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得；
（2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得．
【详解】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，
由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
62．(1)
(2)5元
【分析】(1)首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解；
(2)首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解. 此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键.
【详解】（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，
则,
解得（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为．
（2）设商品降价m元，
则,
解得（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元．
63．（1）见解析；（2）设销售量为盆，售价为元，；（3）定价为元或元．
【分析】（1）根据销售单价从小到大对应排列即可；
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数，设销售量为盆，售价为元，，把，代入求出完整解析式即可；
（3）设定价为元，根据每天获得元的利润、（2）中日销售量与售价间的关系，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）根据销售单价从小到大对应排列得下表：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把，代入得：，
解得：，
∴，
故答案为：设销售量为盆，售价为元，；
（3）设定价为元，
∵每天获得元的利润，
∴，
解得：或，
∴要想每天获得元的利润，定价为元或元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一次函数的实际应用．从表格中获取信息、正确求出一次函数、列出一元二次方程求解，是解题的关键．
64．(1)；
(2)每件吉祥物销售单价是元时，商店每天获利元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系列出等量关系式．
（1）利用每天的销售量销售单价上涨的钱数，即可找出与的函数关系式，结合销售单价不能超过每件元，即可得出的取值范围；
（2）利用总利润＝每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，将其符合题意的值代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
销售单价不能超过每件元，
，
，
与的函数关系式是，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
每件吉祥物销售单价是元时，商店每天获利元．
65．(1)
(2)85元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准数量关系列出一元二次方程和一次函数是解题关键．
（1）利用每天的销售量销售单价上涨的钱数，即可找出与的函数关系式，结合销售单价不能超过每件100元，即可得出的取值范围；
（2）利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，将其符合题意的值代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
销售单价不能超过每件100元，
，
，
y与x的函数关系式是：，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意舍去），
（元），
答：每件吉祥物销售单价是85元时，商店每天获利2250元．
66．(1)2400
(2)8周
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）设储存x周后出售，利润可达到4960元，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：当前直接出售可获利（元），
故答案为：2400；
（2）解：设储存x周后出售，利润可达到4960元，
依题意得：，
解方程得：，，
又∵，
∴（舍去），
答：储存8周后出售利润可达到4960元．
67．(1)月平均增长率是
(2)3元
【分析】（1）设月平均增长率为，根据1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元，列出方程进行求解即可；
（2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：月平均增长率是；
（2）设售价应降低元，由题意，得：，
解得：，
∵尽量减少库存，
∴，
答：售价应降低3元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．
68．(1)，
(2)若书店想每天获得3750元的利润，应涨价5元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，正确的列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每本书上涨了x元，根据题意可表示出每本书的利润和每天的销售量；
（2）根据每本图书的利润每天销售图书的数量总利润列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵设每本书上涨了x元，
∴涨价后，每本书的利润为元，每天的销售量为本．
故答案为：，．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价5元．
69．(1)；
(2)元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意：当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出千克.即可得出结论;
（2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】（1）解： 由题意得：销售数量为千克；利润为元；
故答案为：；；
（2）由题意得:，
解得：
∵让顾客得到实惠，
，
答：销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，每千克应降价元．
70．(1)当每箱牛奶售价为元时，平均每天的利润为元
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，列代数式，
（1）设每箱售价为元，根据“（售价－进价）×销售量等于利润元”建立一元二次方程并求解即可；
（2）由题意知“价格每降低元，平均每天可多销售箱”，当每箱降价元时，根据“每天销售量降价后多销售的箱数”列代数式即可；
解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程；根据各数量之间的关系列出代数式．
【详解】（1）解：设每箱售价为元，根据题意，得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当每箱牛奶售价为元时，平均每天的利润为元；
（2）∵每箱价格每降低元平均每天可多销售箱，
∴当降低元时每天的销量为：（箱）．
故答案为：．
71．(1)x的值为60
(2)不存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）当该商店这款食品售价为元时，日均销售量为袋，利用日均销售额销售单价日均销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）假设存在，当该商店这款食品售价为元时，每袋的销售利润为元，日均销售量为袋，利用日均毛利润每袋的销售利润日均销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不存在的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元．
【详解】（1）根据题意，得，
解得，，
又∵，
∴，
答：x的值为60；
（2）不存在的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元，理由如下：
假设存在的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元，当该商店这款食品售价为元时，每袋的销售利润为元，日均销售量为袋，
根据题意，得，
整理，得，
∴，
∴此方程无解，
∴不存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元．
72．(1)该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为
(2)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．
【详解】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
73．(1)（）
(2)
【分析】（1）根据每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件列等式即可得到答案；
（2）根据利润利润单价数量列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
且，
∴每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系为：（）；
（2）解：由题意可得，
，
解得：， ，
∵尽量减少库存，
∴应该降价元
【点睛】本题考查一次函数解决销售利润问题，一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是找到等量关系式．
74．（1）是；（2）1；（3），理由见解析；（4）2
【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可；
（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
拓展结论：
（4）由已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：（1）根据题意得：．
故答案为：是．
（2）已知等式变形得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
则：．
故答案为：1．
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵S是完美数，
∴是完全平方式，
∴．
（4）∵，
∴，即，
∴，
当时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
75．问题提出：见解析；变式探究：；应用拓展：，经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时
【分析】问题提出：根据前4个图形归纳类推出一般规律，再填表即可；
变式探究：观察图形可知，第1-3个图形的小圆圈总数依次为，再结合问题提出中的结论，归纳类推出一般规律即可得；
应用拓展：观察图形可知，经过1-4轮分裂后细胞总数依次为，再结合变式探究中的结论，归纳类推出一般规律，然后根据“细胞总数达到1261个”建立方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：问题提出：由图可知，第1个图形中每条边上的小圆圈个数为1，小圆圈的总数为，
第2个图形中每条边上的小圆圈个数为2，小圆圈的总数为，
第3个图形中每条边上的小圆圈个数为3，小圆圈的总数为，
第4个图形中每条边上的小圆圈个数为4，小圆圈的总数为，
归纳类推得：第个图形中每条边上的小圆圈个数为，小圆圈的总数为，
则当时，，
当时，，
将表格填写如下：
1 2 3 4 5 … 8 …
1 3 6 10 15 … 36 …
变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为，
第2个图形的小圆圈的总数为，
第3个图形的小圆圈的总数为，
归纳类推得：第个图形的小圆圈的总数为，
故答案为：；
应用拓展：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为，
经过2轮分裂后细胞总数为，
经过3轮分裂后细胞总数为，
经过4轮分裂后细胞总数为，
归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为，
假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，
则，
解得或（不符题意，舍去），
所以假设成立，
所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时．
【点睛】本题考查了图形的规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
76．【类比迁移】：，；【拓展应用】2，3，
【详解】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）；
第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图：
第三步：
图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
表示边长，
，即，
故答案为：，；
【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．
∴长方形的长为，宽为x，即：，
∴，
∴，，方程的一个正根为：．
故答案为：2，3，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的几何意义，读懂题意，根据正方形面积相等列出方程是关键．
77．(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【详解】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
78．探究1：，，，；探究2：不存在，理由见解析；三、m的最小值为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键．
探究1：根据题意得到，，然后利用长方形面积和周长公式得到，，进而解方程求解即可；
探究2：首先根据题意得到，，然后设长方形丙两条邻边长分别为a和，然后根据面积列方程求解即可；
三、设长方形B的两边长分别为，根据题意得到，然后得到，然后利用一元二次方程的判别式结合求解即可．
【详解】探究1：∵，
∴，
∵设长方形乙的长为x，宽为y，
∴，
∴，即
代入得，
解得，或（因y是宽小于长，故舍去）
∴；
探究2：要使成立
则，
∴设长方形丙两条邻边长分别为a和，
，
，
∴方程无解
不存在；
三、设长方形B的两边长分别为
则有
消去得，得
解得：或
∵
m的最小值为．
79．阅读下面材料：1（1）（2）36
【分析】由四边形是正方形，把绕点顺时针旋转得到，可证明，从而，即，有，即，故关于的一元二次方程有一个根是，即；
（1）在中，，可得，从而可解得正方形的关联方程为；
（2）由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，可得，即得，，，设正方形的边长为，有，解得正方形的边长为6，正方形的面积为36．
【详解】解：阅读下面材料：
如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵把绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴共线，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，即，
∴关于的一元二次方程有一个根是，
∴．
故答案为：1；
（1）如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由阅读材料知，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
而，
∴正方形的关联方程为，
化简整理，可得．
故答案为：；
（2）如图：
由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，
∴，
解得，
∴正方形的关联方程是，
∴，，，
设正方形的边长为，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴正方形的边长为6，
∴正方形的面积为36．
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及内容包括旋转变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程、新定义、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是证明．
80．（1）5，；（2）；（3）．
【分析】（1）根据材料1解答即可；
（2）由题可知m，n是方程的两个不相等的实数根，再根据材料1可得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可；
（3）等式两边同时除以，得：即，即说明实数s和可看作方程的两根，即得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程两个根为，
∴，．
故答案为：5，；
（2）由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，
所以；
（3）∵要求的值，
∴，
∴等式两边同时除以，得：，即，
∴实数s和可看作方程的两根，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
81．(1)；；
(2)；
(3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1），；
故答案为；；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
82．[类比迁移] ；长为，宽为；图形及解答过程见解析
[拓展应用] ，5，或
【分析】[类比迁移]仿造[学习研究]，根据赵爽的办法解答即可；
[拓展应用] 根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为20的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，即可得到答案．
【详解】解：[类比迁移]
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个面积可用表示为长为，宽为的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
∵表示边长，
∴，即，
第三步：方程的一个正根为；
故答案为：；长为，宽为；
[拓展应用]
∵，
∴，
∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
∵图2是由4个面积为20的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，
∴，，
解得：，，
当时，，，，方程的一个正根为；
当时，，，，方程的一个正根为．
综上所述，方程的一个正根为或．
故答案为：，5，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数，与各图形面积的关系是解题的关键．
83．(1)，小，
(2)
(3)
【分析】（1）根据配方法进行计算即可得到答案；
（2）根据配方法求参数即可；
（3）设，根据题意，列出代数式，再用配方法求最值即可．
【详解】（1）解：∵，且
∴当时，代数式：有最小值：；
故答案为：，小，；
（2）∵，且，
∴当时，代数式有最小值：，
∴，
解得：；
（3）解：设，则：，
∵，
∴，
解得：；
由题意得：，
当时，代数式有最大值：72，
∴当时，菜园面积最大．
【点睛】本题考查配方法的应用．正确理解并掌握利用配方法求代数式的最值是解题的关键．
84．(1)3，
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）∵实数s、t满足，，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
85．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
86．（1）-3，2；（2）x=3
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根，
【详解】解：（1）x3+x2-6x=0，
x（x2+x-6）=0，
x（x+3）（x-2）=0
所以x=0或x+3=0或x-2=0
∴x1=0，x2=-3，x3=2；
故答案为：-3，2；
（2），
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2-2x-3=0
（x-3）（x+1）=0
∴x-3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=-1，
当x=-1时，，
所以-1不是原方程的解．
所以方程的解是x=3
【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．
87．（），；（），理由见解析；（），理由见解析．
【分析】（）利用作差法即可求解；
（）利用作差再结合配方法法即可求解；
（）利用作差即可求解；
本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
【详解】（）∵，
∴，
故答案为：；
∵，
∴，
故答案为：；
（）．
理由如下：
，
∵，
∴，
∴；
（），理由如下：
∵，，
∴，
∴．
88．(1)，，，6
(2)2或
(3)3
【分析】（1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到,即可得到p、q的值；
（2）讨论：当时，易得原式；当时，把m、n看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答；
（3）利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值．
【详解】（1）解：∵是方程的两根，
∴，；
∵2，3是方程的两根，
∴,解得．
故答案为：，，，6．
（2）解：∵m,n满足，
当时，原式；
当时，m、n可看作方程的两根，
∵，
∴原式．
综上，的值为2或．
（3）解：∵，
∴，
∴a、b为一元二次方程的两根，
∵，而c＞0，
∴，即．
∴c的最小整数为3．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么由求根公式可推出，是解答本题关键．
89．(1)2；
(2)．
【分析】（1）根据配方法求解即可；
（2）根据配方法求解即可．
【详解】（1）解：
∵
∴
即最小值是；
（2）
∵
∴
代数式的最大值为；
【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法求解最值的步骤．
90．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；理解一元二次方程根与系数的关系，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．
（1）中，，，代入 ，，即可求解；
（2）由（1）得m，n是方程的两个不相等的实数根，即可求解；
（3）由（1）得、是方程的两个不相等的实数根，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
，
故答案：，；
（2）解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得
，，
；
（3）解： ，
，
，
，
、是方程的两个不相等的实数根，
，，
，
，
．
91．(1)
(2)1
【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算化简即可；
（2）根据a、b是方程的两根，得到，代入求值即可．
本题考查了分式的化简，根与系数关系定理，求代数式的值， 熟练掌握分式的混合运算，根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）∵a、b是方程的两根，
∴，
故．
92．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．
【详解】（1）证明：方程为：，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
实数的值为．
93．(1)
(2)
【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系；
（1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果；
（2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，是方程的两个根，
∴
∴
94．(1)，，，；
(2)
【分析】本题考查的是换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）设，原方程可化为，再解方程求解y，再分类求解x的值即可；
（2）先判断，可得，是方程的两个根，可得，，再利用完全平方公式的变形进行求解即可．
【详解】（1）解：解方程，可设，原方程可化为，
∴，
解得：，，
当，则，
解得：，
当时，则，方程无解，
∴原方程的解为：，；
（2）∵的两个根为，，则，
∴，不互为相反数，
∴，
∵实数，满足，，且，
∴，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∴．
95．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出，再解不等式即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程并检验即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
即，解得；
（2）由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
∵，
∴的值为0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
96．(1)当时，四边形是菱形
(2)
【分析】（1）由题意得出当时，平行四边形为菱形，从而得到，求出的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将化简为，代入可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，
当时，平行四边形为菱形，
的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
整理得：，
解得：，
当时，四边形是菱形；
（2）解： 的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，即，
整理得：，
解得：或，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质、解一元二次方程等知识点．一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
97．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根和，根据根的判别式的意义得到，即，解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系，再利用成立求出m的值，再利用（1）中结论进行判断即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根和.
∴，
即，
解得．
所以实数m的取值范围为；
（2）不存在m的值，使得成立．理由如下：
∵关于x的一元二次方程有两个实数根和，
∴，
∴，
解上述方程得，．
∵，
∴不符合题意，
∴不存在m的值，使得成立．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
98．(1)
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
（1）利用根的判别式，即可求出答案；
（2）先将足转化成，再运用根与系数的关系即可求出答案．
【详解】（1）解：有两个实数根，
，
，
；
（2），是该方程的两个根，
，，
，
，
或1．
；
．
99．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式得到，然后根据非负数的性质即的取值得到则可得到结论；
（2）利用根与系数的关系和代数式变形求得 将其代入即可求解；
【详解】（1）证明:
k是整数，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵关于 的一元二次方程的两个实数根分别为 ，
解得： ；
【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答时，将根与系数的关系和代数式变形相结合是解题中经常用到的方法．
100．(1)证明过程见解析
(2)10
【分析】（1）求得一元二次方程的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系即可得出结论；
（2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，，再利用勾股定理求得，再利用完全平方公式可得，求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴k无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，
∴，，
∴，
在中，，即，
∵，
∴，
解得，
当时，，
∴，
当时，，不符合题意；故舍去．
【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及与系数的关系是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年九年级一元二次方程
一、单选题
1．（23-24九上·深圳·期中）将一元二次方程化成一般形式之后，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．， B．5， C．5，7 D．，5
2．（23-24九上·深圳·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九上·贵州六盘水·阶段练习）已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（ ）
… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
A． B．
C． D．
4．（23-24九上·四川绵阳·阶段练习）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九上·深圳·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（20-21九上·广东中山·期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·济宁·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．（23-24九上·深圳·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
10．（23-24九上·湖南株洲·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
11．（23-24九上·东莞·阶段练习）如若关于x的方程有一个根为， 则a的值是（ ）
A．9 B．5 C．3 D．
12．（23-24九上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
13．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
14．（23-24九上·深圳·期中）方程的解为（ ）
A． B．， C． D．无解
15．（23-24九上·陕西榆林·阶段练习）一元二次方程的两个根分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
16．（21-22九上·陕西西安·期末）一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
17．（九上·深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．，
18．（23-24九上·深圳·期中）若，是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．15 C． D．5
19．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
21．（九上·深圳·期中）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
22．（22-23九上·四川南充·期末）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．（23-24九上·深圳·期中）小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
24．（23-24九上·深圳·期中）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．（23-24九上·深圳·期中）某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
27．（23-24九上·深圳·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．（九上·哈尔滨·开学考试）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场（单循环比赛）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请（ ）个队参赛．
A．6 B．7 C．8 D．9
29．（22-23九上·广东佛山·阶段练习）如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是( )
A． B． C． D．
30．（16-17九上·深圳·期末）某学校2013年年底调查学生的近视率为15%,经过两年的时间,2015年年底再次调查该校学生的近视率为20%,设该校这两年学生人数总数不变,学生近视率年均增长率为x,则以下所列方程正确的是（ ）
A．(1+x)+15%(1+x)2=20% B．15%(1+x%)2=20%
C．15%(1-x)2=20% D．15%(1+x)2=20%
31．（2016·深圳·中考真题）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
32．（23-24九上·深圳·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ．
33．（23-24九上·深圳·期中）已知是方程的一个根，则实数k的值为 ．
34．（23-24九上·深圳·期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 .
35．（23-24九上·深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
36．（23-24九上·深圳·期中）将方程化为一般形式，可知一次项系数为 ．
37．（22-23九年级下·深圳·期中）若关于的一元二次方程的解，则的值是 ．
38．（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ．
39．（23-24九上·深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ；
40．（22-23九上·深圳·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
41．（23-24九上·深圳·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是
42．（23-24九上·深圳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
43．（2022·深圳·中考真题）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
44．（2024·深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
45．（2021·深圳·中考真题）已知方程的一个根是1，则m的值为 ．
46．（22-23九上·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ．
47．（21-22九上·深圳·期末）若关于x的二次方程（m﹣1）x2＋2mx＋m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
48．（23-24九上·深圳·期中）若是方程的一个根，则方程的另一根是 ．
49．（23-24九上·深圳·期中）已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为 ．
50．（23-24九上·绥化·阶段练习）设，是方程的两实数根，则 ．
51．（2023·四川雅安·中考真题）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
52．（2023·湖南·中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
53．（2023·遂宁·中考真题）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
54．（2023·深圳·二模）关于的一元二次方程的一个根是3，另一个根是，则 ．
55．（23-24九上·深圳·阶段练习）中国男子篮球职业联赛（简称：），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．常规赛共要赛场，则参加比赛的队共有 支．
56．（22-23九上·深圳·阶段练习） 次围棋 赛，要求参赛的每两位棋 之间都要 赛 场，根据赛程计划共安排45场 赛，设本次 赛共有x个参赛棋 ，则可列 程为 ．
57．（22-23九上·深圳·阶段练习）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降，受此影响，某种药品两次降价后，价格由每盒160元大幅调整为40元，则该药品平均每次降价的百分率为 ．
58．（2022·深圳·二模）一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程： ．
59．（20-21九上·深圳·期末）云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2018年花卉的产值是640万元，2020年产值达到1000万元．若2021年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同）．那么请你估计2021年这个乡的花卉的产值将达到 万元．
60．（24-25九上·深圳·开学考试）如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 秒．
三、解答题
61．（22-23九上·深圳·阶段练习）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
(1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；
(2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
62．（19-20九上·江苏镇江·阶段练习）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；
(2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
63．（23-24九上·深圳·期中）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
答：________________________________________________．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，要想每天获得元的利润，应如何定价？
64．（23-24九上·深圳·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，就深受大家的喜爱，某商店销售这种吉祥物，每件进价元，规定销售单价不能超过每件元，试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，设每天的销量为，销售单价上涨元．
(1)则与的函数关系式是________．
(2)每件吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利元？
65．（23-24九上·深圳·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店销售这种吉祥物，每件进价60元，规定销售单价不能超过每件100元，试销售期间发现，当销售单价定为80元时，每天可售出100件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件，设每天销售量为y件，销售单价上涨x元．
(1)则y与x的函数关系式是 ．
(2)每件吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2250元？
66．（23-24九上·深圳·期中）惠农商行以7200元的成本收购某种农产品，目前可以以12元/的售价全部售出，如果储存起来待涨价后销售，则每周会损耗，且每周须支付其他费用1000元，但每周每千克会涨价2元．根据往年市场行情可知售价不能超过40元．请解答下列问题．
(1)当前直接出售可获利__________元；
(2)储存几周后出售利润可达到4960元？
67．（23-24九上·深圳·期中）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
(2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
68．（23-24九上·深圳·期中）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．
(1)涨价后，每本书的利润为 元，每天的销售量为 本；（用含有x的代数式表示）．
(2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
69．（23-24九上·深圳·期中）“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元．
(1)当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；
(2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
70．（23-24九上·深圳·期中）数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现：一种纯牛奶进价为每箱元，厂家要求每箱售价在元之间，若以每箱元销售，则平均每天销售箱．
(1)在月份，每箱价格每降低元平均每天可多销售箱．现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
(2)在月份，每箱价格每降低元平均每天可多销售箱，当降低元时每天的销量为______箱．
71．（23-24九上·深圳·期中）某商店销售一款袋装食品，每袋的成本价为40元，按物价部门规定，每袋的售价大于40元但不得高于70元，且为整数．经市场调查发现，当每袋的售价为50元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋的售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋的售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款食品售价为x元．
(1)若该商店这款袋装食品日均销售额为3000元，求x的值；【销售额=销售量售价】
(2)是否存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．【毛利润=销售量（售价-成本价）】
72．（23-24九上·深圳·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
73．（22-23九上·深圳·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)写出每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系；
(2)若商场每天要获利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
74．（2023九上·江苏·专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知，则 ；
（3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
【拓展结论】
（4）已知实数x、y满足，求的最大值．
75．（2022·深圳·二模）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a 1 2 3 4 5 … 8 …
S 1 3 6 … …
【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 ．
【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．
76．（22-23九上·深圳·期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即（ ）=4；
第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：
【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________．
77．（19-20九上·安徽合肥·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
78．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习） 探究不同长方形周长与面积的关系
一、项目化情境与问题
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示
根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？
二、项目支架与探究
为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶
探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由．
三、项目成果
长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值．
79．（22-23九上·北京海淀·开学考试）阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
探究方程是否存在常数根．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答： ．
参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 ；
（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积= ．
80．（23-24九上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值．
解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以．
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值．
81．（2022·湖北黄石·一模）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
82．（23-24九上·广东佛山·阶段练习）[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整；
第一步：将原方程变形为x（________）；
第二步：画四个________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
[拓展应用]：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________．
83．（22-23九上·广东佛山·期中）请阅读下列材料：
我们可以通过配方，利用平方的非负性来求出代数式的最值．
例如：①请求出代数式的最值．
，且，
∴当时，代数式有最小值．
②请求出代数式的最值．
，且．
∴当时，代数式有最大值2．
请根据上述方法，解决下列问题：
(1)当x= ，代数式有最 （填“大”，“小”）值为
(2)代数式有最小值2，求k的值．
(3)应用拓展：如图，现在有长度24m的围栏，要利用一面墙（墙的最大可用长度为15m）来围成菜园，的长度不大于墙的长度，要围成中间有一道围栏的矩形菜园，请问菜园的长和宽分别为多少时，菜园有最大面积？
84．（22-23九上·湖南常德·期中）阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
85．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
86．（21-22九上·北京·期中）求解一元一次方程，根据等式的性质，把方程转化为的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来求解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用转化的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，从而可得方程的解．
（1）问题：方程的解是，________，________；
（2）拓展：用“转化”的思想求方程的解．
87．（2024·广东东莞·一模）综合与探究
【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
【知识运用】
（）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）：
______；
______；
（）试比较与与的大小，并说明理由；
【类比运用】
（）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由．
88．（23-24九上·江苏无锡·阶段练习）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______；
(2)已知满足，求的值；
(3)已知．满足，则正整数的最小值为______．
89．（23-24九上·广东佛山·阶段练习）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：最小值是______
(2)代数式有最大值，最大值是多少？
90．（23-24九上·广东东莞·阶段练习）阅读与思考
阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程的两根为，则，．
材料2 已知实数m，n满足，且，求的值．
解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，，
．
根据上述材料解决下面的问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则_________，_________．
(2)已知实数m，n满足，且，求的值．
(3)已知实数p，q满足，且，求的值．
91．（2024·广东广州·三模）已知．
(1)化简A；
(2)若a、b是方程的两根，求A的值．
92．（23-24九上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
93．（2024·广东广州·一模）已知．
(1)化简；
(2)若，是方程的两个根，求的值．
94．（23-24九上·广东广州·期中）【阅读材料1】
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，．
我们将上述解题的方法叫换元法．
【阅读材料2】
已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
解方程，可设__________，原方程可化为__________．
经过运算，原方程的解是__________．
(2)间接应用：
已知实数，满足，，且，求的值．
95．（23-24九上·广州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为，且，求的值．
96．（23-24九上·广东广州·期中）已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形
(2)若，求的值．
97．（23-24九上·广州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m的值使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
98．（23-24九上·北京西城·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
99．（23-24九上·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 （k是整数）．
(1)求证：无论k为何值，方程总是有两个不相等的实数根．
(2)方程的两个不等的实数根分别为，若，求k的值．
100．（23-24九上·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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