2024-2025学年河北省廊坊九中八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列图形中与如图图形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）现有两根长度分别为20cm和30cm的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ）
A．10cm B．25cm C．50cm D．55cm
4．（3分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，∠A＝70°，∠ABC＝60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
5．（3分）嘉嘉在河北蔚县研学中学习剪纸时，剪了一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形
6．（3分）如图，点C，F在BE上，且△ABC≌△DEF．若BE＝8，CF＝2，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）在△ABC中，若2∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
8．（3分）如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E在射线BA上，则∠1，∠2，∠B之间的大小关系为（ ）
A．∠1＜∠2＜∠B B．∠B＜∠2＜∠1 C．∠1＜∠B＜∠2 D．∠B＜∠1＜∠2
10．（3分）将△ABC按如图所示沿DE进行翻折，若∠C＝50°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点M，N分别在边BC和边CD上，且△ABC与△MCN全等，AC与MN是对应边．若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则DN的长为（ ）
A．1 B．2或3 C．1或2 D．3或4
12．（3分）某零件的形状如图所示，按规定∠A，∠B，∠D应分别等于90°，20°和30°时该零件才合格．王师傅量得∠BCD＝150°，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：该零件不合格；
结论Ⅱ：已知∠A＝90°，当∠B与∠D的度数分别减少2°时，∠BCD的度数会减少2°；
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是 ．
14．（3分）小明利用含45°角的直角三角形，发现某残缺正多边形的一个外角∠1满足45°＜∠1＜90°，写出一个满足条件的正多边形的边数： ．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和BC上，△ADE≌△BDE，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，则AD的长为 ．
16．（3分）淇淇用正方形、正五边形和正六边形纸片组成如图所示的图形（正五边形和正六边形有1个顶点重合，正方形的两个顶点分别在正五边形和正六边形的边上），若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．求下列图中的x的值．
（1）
（2）
18．如图，在10×10的网格中，每个小正方形边长都是1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）请在图中画出△ABC边BC上的高AD；
（2）请在边BC上找点E，并连接AE，使得△ACE的面积与△ABE的面积相等；
（3）直接写出（2）中△ACE的面积．
19．已知一个n边形的每一个外角都等于60°．
（1）该n边形 是正n边形（填“一定”或“不一定”）；
（2）求这个n边形的内角和；
（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线．
20．某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表：学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2m和5m的钢管，还需要购买一根．
规格/m 1 2 3 4 5 6
价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35
（1）有哪几种规格的钢管可供选择？
（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？
21．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△ABD≌△CAE．
（1）若∠B＝25°，∠AEC＝80°，求∠BAC的度数；
（2）试判断BD，DE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当△ABD满足 时，BD∥CE．
22．小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，试猜想∠B、∠C，∠EAD之间的数量关系．小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试取几组∠B、∠C的特殊值求∠EAD的度数，得到下表中几组对应值．
∠B的度数 20° 30° 30° 40°
∠C的度数 50° 60° 70° 60°
∠EAD的度数 15° α 20° β
（1）求表中α，β的度数；
（2）探究∠B，∠C，∠EAD之间的数量关系，并说明理由．
23．如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数；
（2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和；
（3）已知∠C＝∠AEC＝70°，若△ABC是锐角三角形，请直接写出∠B的取值范围．
24．【问题情境】如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠BCA＝180°．请补全下面嘉淇的证明过程；
证明：过点C作CD∥AB．
【拓展探究】如图2，CD∥AB，过点B作BE⊥AC于点E，且CA平分∠BCD．
（1）试判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）已知P是边AC上的动点（不与点A，E，C重合），连接BP并延长交CD于点F，过点C作CG⊥BF于点G．若∠EBF＝α，∠A＝5α，求∠GCF的度数（用含α的式子表示）．
2024-2025学年河北省廊坊九中八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：由题意得：只有A选项中的图形是三角形，
故选：A．
2．【解答】解：A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，故此选项不合题意；
B、与已知图形能完全重合，故此选项符合题意；
C、中间是长方形，与已知图形不重合，故此选项不合题意；
D、中间是长方形，与已知图形不重合，故此选项不合题意．
故选：B．
3．【解答】解：设第三根木条的长度为x cm，
根据三角形的三边关系定理得到：30﹣20＜x＜30+20，
∴10＜x＜50，
∴只有选项B符合要求，
故选：B．
4．【解答】解：∵BD是∠ABC角平分线，且∠ABC＝60°，
∴，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝70°，
∴∠BDC＝70°+30°＝100°．
故选：C．
5．【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1080°，
∴n＝8，
∴这个正多边形是正八边形，
故选：B．
6．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF＝BC﹣CF＝EF﹣CF＝CE，
∵CF＝2，BE＝8，
∴，
∴BC＝BF+CF＝3+2＝5，
故选：C．
7．【解答】解：在△ABC中，
∵2∠A＝∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，∠A＝36°，
∴∠B＝∠C＝72°，
∴△ABC是锐角等腰三角形．
故选：B．
8．【解答】解：∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，
∴∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，
①在△ABE中，∠BAD＝∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；
②AO≠OD，所以BO不是△ABD的中线，故②错误；
③在△ADC中，AE＝CE，DE是△ADC的中线，故③正确；
④∠ADE不一定等于∠EDC，那么ED不一定是△EBC的角平分线，故④错误；
正确的有2个选项．故选：B．
9．【解答】解：∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2＝∠1+∠ACD，
∴∠2＞∠1，
∵∠1是△BCD的外角，
∴∠1＝∠B+∠BCD，
∴∠1＞∠B，
∴∠B＜∠1＜∠2．
故选：D．
10．【解答】解：由折叠的性质得∠1+∠5＝∠3，∠2+∠4＝∠6，
∵∠1＝40°，∠3+∠5＝180°，
∴40°+∠5+∠5＝180°，
解得∠5＝70°，∠3＝110°，
∵∠C＝50°，
∴∠4＝∠3﹣∠C＝60°，
∴∠6＝180°﹣∠4＝120°，
∴∠2＝∠6﹣∠4＝120°﹣60°＝60°．
故选：C．
11．【解答】解：当△ABC≌△MCN时，
∴BC＝CN＝4，
∴DN＝CD﹣CN＝1；
当△ABC≌△NCM时，
∴CN＝AB＝3，
∴DN＝CD﹣CN＝2；
综上，DN的长为1或2．
故答案为：C．
12．【解答】解：延长DC交AB于点E，
∵∠BCD＝150°，∠B＝20°，
∴∠DEB＝150°﹣20°＝130°，
∴∠A＝∠DEB﹣∠D＝130°﹣30°＝100°≠90°，
∴该零件不合格，结论Ⅰ正确；
∵∠BCD＝∠DEB+∠B＝∠A+∠D+∠B
＝90°+∠D+∠B，
当∠B与∠D的度数分别减少2°时，
∴∠BCD＝90°+∠D﹣2°+∠B﹣2°＝（90°+∠D+∠B）﹣4°，
即∠BCD的度数会减少4°，结论Ⅱ不正确；
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．【解答】解：玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
14．【解答】解：∵正多边形的外角和等于360°，
∴满足条件的正多边形的边数可以是360°÷60°＝6，
故答案为：6（答案不唯一）．
15．【解答】解：∵△ADE≌△BDE，
∴，AE＝BE，
∵△ABC的周长比△AEC的周长大6，
∴（AB+AC+BC）﹣（AE+EC+AC）＝6，
∴AB+BC﹣AE﹣EC＝6，
∴AB+BE﹣AE＝6，
∴AB＝6，
∴，
故答案为：3．
16．【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°，
∵∠1+∠2＝110°，
∵∠DAB+∠1+∠CBA+∠2＝290°，
∴∠EAB+∠EBA＝360°﹣290°＝70°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝110°，
∵正五边形的每个内角的度数＝，正六边形的每个内角的度数是120°，
∴∠3＝360°﹣110°﹣108°﹣120°＝22°．
故答案为：22°．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）由图知，
x+45+（x﹣7）＝180
2x＝142
x＝71；
（2）由图知，
3x+2×90＝360
3x＝180
x＝60．
18．【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段AE即为所求；
（3）△ACE的面积＝．
19．【解答】解：（1）∵一个n边形的每一个外角都等于60°，
∴该n边形的每一个内角都等于：180°﹣60°＝120°，
但该n边形的各边不一定都相等，
故该n边形不一定是正n边形，
故答案为：不一定；
（2）∵多边形的外角和是360°，
∴n＝360÷60＝6，
∴内角和是：180°×（6﹣2）＝720°，
∴这个n边形的内角和为720°；
（3）从n边形的一个顶点出发，可以画出（n﹣3）条对角线，
∵n＝6，
∴n﹣3＝6﹣3＝3，
∴从这个n边形的一个顶点出发，可以画出3条对角线．
故答案为：3．
20．【解答】解：（1）设第三根钢管的长度为x m，
则5﹣2＜x＜5+2，即：3＜x＜7，
∴长度为4m、5m、6m的钢管可供选择；
（2）∵三角形支架的周长为偶数，
∴三边长分别为2m、5m、5m，
则花的钱数为：15×1+30×2＝75（元），
答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管．
21．【解答】解：（1）∵△ABD≌△CAE，
∴∠B＝∠EAC＝25°，
∴∠BAD＝180°﹣∠EAC﹣∠AEC＝75°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC＝100°；
（2）结论：BD＝CE+DE，理由如下：
理由：∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE；
（3）当∠ADB＝90°时，BD∥CE．理由如下：
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠CEA＝90°，
∴BD∥CE．
故答案为：∠ADB＝90°．
22．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝15°，
∴a＝15°；
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∴Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝10°，
∴β＝10°；
（2）∠B、∠C、∠EAD之间的关系是：．
理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），AE平分∠BAC，
∴，
∵∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD，
∴．
23．【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE+∠BAD＝∠CAD﹣∠BAE＝80°，
∴∠CAE＝∠BAD＝40°；
（2）∵AD＝10，BE＝CE＝4.5，△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD＝10，BC＝DE＝BE+CE＝9，
∴△ADF与△BEF的周长和为：AD+DF+AF+BF+EF+BE
＝AD+（DF+EF）+（AF+BF）+BE
＝AD+DE+AB+BE
＝10+9+10+4.5
＝33.5；
（3）设∠B＝x°，
∵∠C＝∠AEC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°﹣x°，∠ACE＞∠B，
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠B＜90°，∠BAC＜90°，
∴，
解得，20°＜x°＜70°，即20°＜∠B＜70°．
24．【解答】证明：过点C作CD∥AB．
则∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
即∠B+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠A+∠B+∠BCA＝180°；
（1）BE平分∠ABC，理由如下，
∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∵BE⊥AC，
∴BE平分∠ABC；
（2）∵∠A＝5α，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠A＝5α，
∵BE⊥AC，∠EBF＝α，
∴∠BEP＝90°，
∴∠EBF+∠BPE＝90°，
∵CG⊥BF，
∴∠CGB＝∠CGF＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝90°，
若点P在线段CE上，如图，
则∠CPG＝∠BPE，
∴∠PCG＝∠EBF＝α，
∴∠GCF＝∠ACD﹣∠PCG＝4α；
若点P在线段AE上，如图，
由∠CPG与∠BPE是同一个角，
∴∠PCG＝∠EBF＝α，
∴∠GCF＝∠ACD+∠PCG＝6α；
综上，∠GCF的度数为4α或6α．
