长春吉大附中实验学校2024——2025学年上学期高三年级
第二次摸底考试数学学科试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题(本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上).
1.复数 则的虚部是
A. B. C. D.
2.已知全集U=R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是
A. B. C. D.
3.在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的表面接触，若该列车行驶了距离S，则此时P到铁轨上表面的距离为
A. B. C. D.
4.设公差d≠0的等差数列中, 成等比数列,则
A. B. C. D.
5.已知向量在向量方向上的投影向量的模向量在向量方向上的投影向量的模为1, 且，则向量与向量的夹角为
A. B. C. D.
6.若 则a、b、c的大小关系是
A c
8.对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合
,已知A={2,4,6,7,10}, B={1, 2, 4, 8, 16}.用 Card(M)表示有限集合M所含元素的个数,则 Card(X△A)+ Card(X△B)的最小值为
A. 5 B. 6 C .7 D. 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知方程的两个复数根分别为 z , z ,则
10.已知是函数的三个零点 ， 则
A.
B.
C .
D.
11.如图, 在四边形ABCD中, ∠DAB=60°,∠DCB=120°, AB=2,BC= , , 则下列结果正确的是
A. ∠ABC=45° B. C . D. △ADC 的面积为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12.在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点， , 则 .
13.已知函数 ，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 .
14. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A，都有 是一个常数, 则称在A上具有M性质. 设是在区间[-2,2]上具有M性质的函数,且对于任意，都有 成立，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 设函数
(1) 若, 求函数的单调区间;
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.(其中是自然对数的底数)
16. (15分)在中, 角的对边分别为的面积为， .
(1) 求角;
(2) 若的面积为为边的中点, 求的长.
17. (15分)如图所示, 直角梯形中, 四边形为矩形,平面⊥平面.
(1) 求证: ∥平面;
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为 ,若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由
18.(17分) 某项团体比赛分为两轮：第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛. 若挑战成功，参加第二轮攻擂赛与上任擂主争夺比赛胜利. 现有甲队参加比赛，队中共3名事先排好顺序的队员参加挑战.
(1)第一轮与 AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关； 当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束. 已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. 用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的期望；
(2) 甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1-3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛…直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利..已知，甲队三名队员A ，A ，A 每场比赛的胜率分别为：若要求甲队获胜的概率大于，问是否满足 请说明理由.
19. (17分)已知椭圆 短轴长为2，左、右焦点分别为过点的直线与椭圆C交于两点，其中分别在轴上方和下方，直线与直线交于点直线 与直线交于点
(1) 若的坐标为求椭圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，过点并垂直于轴的直线交C于点，椭圆上不同的两点满足 成等差数列. 求弦的中垂线在轴上的截距的取值范围；
(3)若,求实数的取值范围.
