2024-2025学年第一学期合肥一中高三数学素质拓展三
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为的函数，满足，且，则以下选项错误的是（ ）
A． B．图象关于对称 C．图象关于对称 D．为偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．函数的零点是和
C．是成立的充分不必要条件
D．若，则函数的最小值为2
10．设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数的图象的一条对称轴为
B．已知，且的最小值为，则
C．当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
11．已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．是周期函数，且其中一个周期是
C．的值域是 D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是偶函数，当时，，则___________．
13．当时，曲线与的交点个数为___________．
14．已知函数，不等式对任意的恒成立，则a的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知函数，对，有．
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）若时，求．
16．（本小题15分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．
17．（本小题15分）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和．
18．（本小题17分）已知函数．
（1）若函数在上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数a的取值范围．
19．（本小题17分）当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由，得，通常用x表示自变量，则写成，我们称与互为反函数．已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．
（1）若函数，且点在曲线上，求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积．
（2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S．证明：．（参考数据：）
