期末素养评估(第二十六至第二十九章)
（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.(2024·临夏州中考)马家窑彩陶绚丽典雅,符号丰富,被称为彩陶文化的“远古之光”.如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形,有关其三视图说法正确的是 ( )
A.主视图和左视图完全相同 B.主视图和俯视图完全相同
C.左视图和俯视图完全相同 D.三视图各不相同
2.已知反比例函数y=-,则下列描述正确的是 ( )
A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大
C.图象不可能与坐标轴相交 D.图象必经过点(,-)
3.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是 ( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC
C.= D.=
4.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则tan∠AOC的值为 ( )
A. B. C. D.
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形,点A在线段OA上,AA'=2OA.若点B的坐标为(2,1),则点B'的坐标为 ( )
A.(4,2) B.(6,3) C.(8,4) D.(1,0.5)
6.(2023·随州中考)已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则当电阻为6 Ω时,电流为 ( )
A.3A B.4A C.6A D.8A
7.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为 ( )
A. B. C. D.
8.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 ( )
A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x
C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x
9.(2024·成都期末)如图,小亮居住的小区内有一条笔直的小路,小路的正中间有一路灯,晚上小亮由A处径直走到B处,他在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来,大致图象是( )
10.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE的长为10 m,则树AB的高度是 ( )
A.20 m B.30 m C.30 m D.40 m
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024·广元期末)如图,O是坐标原点,点A在函数y=(x<0)的图象上,AB⊥x轴于B点,△AOB的面积为3,则k的值为 .
12.如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,则= .
13.小华家客厅有一张直径为1.2 m,高为0.8 m的圆桌AB,有一盏灯E到地面垂直距离EF为2 m,圆桌的影子为CD,FC=2 m,则点D到点F的距离为 m.
14.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C= .
15.(2024·无锡一模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是 .(结果保留π)
16.(2024·常州模拟)在锐角△ABC中,sin A=,cos B=,若AB=15,则AC= .
17.如图,一架长为6 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为 m.(sin 70°≈0.94,sin 50°≈0.77,cos 70°≈0.34,
cos 50°≈0.64)
18.(2023·鄂州中考)2002年的国际数学家大会在中国北京举行,这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会.这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图,世人称之为“赵爽弦图”.如图,用四个全等的直角三角形(Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA)拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH,连接AC和EG,AC与DF,EG,BH分别相交于点P,O,Q,若BE∶EQ=3∶2,则的值是 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)用若干个小立方块搭一几何体,使其主视图和俯视图如图所示.俯视图中小正方形里的字母表示在该位置小立方块的个数,请问:
(1)a表示几 b的最小值是多少
(2)这个几何体最多由几个小立方块搭成 并画出此时该几何体的左视图.
20.(6分) (2023·兰州中考)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”,“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造,如巨龙腾空,气势如虹,屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动,具体过程如下.如图2,“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上,在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°,∠BAD=53°,AB=18 m,求“龙”字雕塑CD的长度.B,C,D三点共线,BD⊥AB.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
21.(8分)(2024·烟台期末)某几何体的三视图如图所示,其中主视图中半圆的半径为2.请求出该几何体的体积和表面积.
22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,AB∥x轴,OB=2,双曲线y=经过点B,将△AOB绕点B逆时针旋转,使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.
(1)求点B的坐标和双曲线的解析式;
(2)判断点C是否在双曲线上,并说明理由.
23.(8分)(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立 说明理由.
24.(8分)如图,在一个长40 m、宽30 m的长方形小操场上,王刚从A点出发,沿着A B C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶.当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时,A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
(1)求他们的影子重叠在同一条直线上时,两人相距多少米.(DE的长)
(2)求张华追赶王刚的速度是多少.(精确到0.1 m/s)
25.(10分)沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD,高DH=12米,斜坡CD的坡度i=1∶1.此处大堤的正上方有高压电线穿过,PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P,D,H在同一直线上),在点C处测得∠DCP=26°.
(1)求斜坡CD的坡角α;
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米,请问:此次改造是否符合电力部门的安全要求
(参考数据:sin 26°≈0.44,tan 26°≈0.49,sin 71°≈0.95,tan 71°≈2.90)
26.(12分)(2023·福建中考)阅读下列材料,回答问题.
任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图1.
工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图3.
小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下:
测量过程:
(i)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a m,BC=b m;
(ii)分别在AC,BC上测得CM= m,CN= m;测得MN=c m.
求解过程:
由测量知,AC=a m,BC=b m,CM= m,CN= m,
∴==,又∵① ,
∴△CMN∽△CAB,∴=.
又∵MN=c m,∴AB=② (m).
故小水池的最大宽度为***m.
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容;
(2)小明求得AB用到的几何知识是 ;
(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.
要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分).期末素养评估(第二十六至第二十九章)
（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.(2024·临夏州中考)马家窑彩陶绚丽典雅,符号丰富,被称为彩陶文化的“远古之光”.如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形,有关其三视图说法正确的是 (D)
A.主视图和左视图完全相同 B.主视图和俯视图完全相同
C.左视图和俯视图完全相同 D.三视图各不相同
2.已知反比例函数y=-,则下列描述正确的是 (C)
A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大
C.图象不可能与坐标轴相交 D.图象必经过点(,-)
3.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是 (D)
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC
C.= D.=
4.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则tan∠AOC的值为 (D)
A. B. C. D.
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形,点A在线段OA上,AA'=2OA.若点B的坐标为(2,1),则点B'的坐标为 (B)
A.(4,2) B.(6,3) C.(8,4) D.(1,0.5)
6.(2023·随州中考)已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则当电阻为6 Ω时,电流为 (B)
A.3A B.4A C.6A D.8A
7.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为 (D)
A. B. C. D.
8.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 (D)
A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x
C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x
9.(2024·成都期末)如图,小亮居住的小区内有一条笔直的小路,小路的正中间有一路灯,晚上小亮由A处径直走到B处,他在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来,大致图象是(B)
10.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE的长为10 m,则树AB的高度是 (B)
A.20 m B.30 m C.30 m D.40 m
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024·广元期末)如图,O是坐标原点,点A在函数y=(x<0)的图象上,AB⊥x轴于B点,△AOB的面积为3,则k的值为 -6 .
12.如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,则= .
13.小华家客厅有一张直径为1.2 m,高为0.8 m的圆桌AB,有一盏灯E到地面垂直距离EF为2 m,圆桌的影子为CD,FC=2 m,则点D到点F的距离为 4 m.
14.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C= 或 .
15.(2024·无锡一模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是 (36+4)π .(结果保留π)
16.(2024·常州模拟)在锐角△ABC中,sin A=,cos B=,若AB=15,则AC= 3 .
17.如图,一架长为6 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为 1.02 m.(sin 70°≈0.94,sin 50°≈0.77,cos 70°≈0.34,
cos 50°≈0.64)
18.(2023·鄂州中考)2002年的国际数学家大会在中国北京举行,这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会.这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图,世人称之为“赵爽弦图”.如图,用四个全等的直角三角形(Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA)拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH,连接AC和EG,AC与DF,EG,BH分别相交于点P,O,Q,若BE∶EQ=3∶2,则的值是 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)用若干个小立方块搭一几何体,使其主视图和俯视图如图所示.俯视图中小正方形里的字母表示在该位置小立方块的个数,请问:
(1)a表示几 b的最小值是多少
(2)这个几何体最多由几个小立方块搭成 并画出此时该几何体的左视图.
【解析】(1)由主视图和俯视图之间的关系,可得a=4,标b的位置最小为1,不能没有,因此b最小为1,
答:a=4,b的最小值为1;
(2)在俯视图的各个位置最多可摆放的个数如图所示:
因此,这个几何体最多由3×3+2×2+4=17个小立方块搭成,左视图如图所示.
20.(6分) (2023·兰州中考)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”,“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造,如巨龙腾空,气势如虹,屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动,具体过程如下.如图2,“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上,在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°,∠BAD=53°,AB=18 m,求“龙”字雕塑CD的长度.B,C,D三点共线,BD⊥AB.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
【解析】在Rt△ABC中,AB=18 m,∠BAC=38°,
∵tan∠BAC=,
∴BC=AB·tan∠BAC=18tan 38°≈18×0.78=14.04(m),
在Rt△ABD中,AB=18 m,∠BAD=53°,
∵tan∠BAD=,
∴BD=AB·tan∠BAD=18tan 53°≈18×1.33=23.94(m),
∴CD=BD-BC≈23.94-14.04=9.9(m).
答:“龙”字雕塑CD的长度约为9.9 m.
21.(8分)(2024·烟台期末)某几何体的三视图如图所示,其中主视图中半圆的半径为2.请求出该几何体的体积和表面积.
【解析】由三视图可知,该几何体是一个长、宽、高分别为8,6,4的长方体在上底面中间挖去一个直径为4的半圆柱,S表面积=6×4×2+6×8+6×2×2+(8×4-π×22)
×2+π×4××6=48+48+24+64-4π+12π=184+8π,V=8×6×4-π×22×6=192-12π.
22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,AB∥x轴,OB=2,双曲线y=经过点B,将△AOB绕点B逆时针旋转,使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.
(1)求点B的坐标和双曲线的解析式;
(2)判断点C是否在双曲线上,并说明理由.
【解析】(1)∵AB∥x轴,
∴∠ABO=∠BOD,
∵∠ABO=∠CBD,
∴∠BOD=∠OBD,
∵OB=BD,
∴∠BOD=∠BDO,
∴△BOD是等边三角形,
∴∠BOD=60°,
∴B(1,);
∵双曲线y=经过点B,
∴k=1×=.
∴双曲线的解析式为y=.
(2)∵∠ABO=60°,∠AOB=90°,
∴∠A=30°,
∴AB=2OB,
∵AB=BC,
∴BC=2OB,
∴OC=OB,
∴C(-1,-),
∵-1×(-)=,
∴点C在双曲线上.
23.(8分)(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立 说明理由.
【解析】(1)∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,
∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,
∴=,
∴AD·BC=AP·BP;
(2)依然成立.理由如下:
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP,
∵∠DPC=∠A=∠B=θ,
∴∠BPC=∠ADP,
∴△ADP∽△BPC,
∴=,∴AD·BC=AP·BP.
24.(8分)如图,在一个长40 m、宽30 m的长方形小操场上,王刚从A点出发,沿着A B C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶.当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时,A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
(1)求他们的影子重叠在同一条直线上时,两人相距多少米.(DE的长)
(2)求张华追赶王刚的速度是多少.(精确到0.1 m/s)
【解析】(1)根据题意可知,DE∥AC,
∴△ACB∽△DEB,∴=,
在Rt△ABC中,AB=40 m,BC=30 m,BD=2 m,
∴AC=50 m,∴=,即DE= m;
答:他们的影子重叠在同一条直线上时,两人相距 m.
(2)根据题意得DE2=BD2+BE2,
∴BE===2(m),
∴s王=AB+BE=42 m,
∴t王===14(s),∴t张=t王-4=10(s),
∴s张=AD=AB-BD=40-2=-=(m),
v张=≈3.7(m/s).
答:张华追赶王刚的速度约是3.7 m/s.
25.(10分)沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD,高DH=12米,斜坡CD的坡度i=1∶1.此处大堤的正上方有高压电线穿过,PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P,D,H在同一直线上),在点C处测得∠DCP=26°.
(1)求斜坡CD的坡角α;
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米,请问:此次改造是否符合电力部门的安全要求
(参考数据:sin 26°≈0.44,tan 26°≈0.49,sin 71°≈0.95,tan 71°≈2.90)
【解析】(1)∵斜坡CD的坡度i=1∶1,
∴tan α=DH∶CH=1∶1=1,
∴α=45°.
答:斜坡CD的坡角α为45°.
(2)由(1)可知,CH=DH=12米,α=45°.
∴∠PCH=∠PCD+α=26°+45°=71°,
在Rt△PCH中,
∵tan∠PCH==≈2.90,
∴PD≈22.8(米).
22.8>18,
∴此次改造符合电力部门的安全要求.
26.(12分)(2023·福建中考)阅读下列材料,回答问题.
任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图1.
工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图3.
小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下:
测量过程:
(i)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a m,BC=b m;
(ii)分别在AC,BC上测得CM= m,CN= m;测得MN=c m.
求解过程:
由测量知,AC=a m,BC=b m,CM= m,CN= m,
∴==,又∵①∠C=∠C,
∴△CMN∽△CAB,∴=.
又∵MN=c m,∴AB=②3c (m).
故小水池的最大宽度为***m.
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容;
(2)小明求得AB用到的几何知识是相似三角形的判定和性质;
(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.
要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分).
【解析】(1)由测量知,AC=a m,BC=b m,CM= m,CN= m,
∴==,
又∵∠C=∠C,
∴△CMN∽△CAB,
∴=.
又∵MN=c m,∴AB=3c(m).
(2)求得AB用到的几何知识是相似三角形的判定和性质.
(3)测量过程:(i)在小水池外选点C,如图,用测角仪在点B处测得∠ABC=α,在点A处测得∠BAC=β;
(ii)用皮尺测得 BC=a m.
求解过程:由测量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a.
过点C作 CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△CBD中,cos∠CBD=,
即cos α=,所以BD=acos α.
同理,CD=asin α.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=,
即tan β=,所以 AD=,
所以AB=BD+AD=acos α+(m).
故小水池的最大宽度为(acos α+)m.
