第二十八章 锐角三角函数（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则 (D)
A.sin A= B.tan B= C.cos B= D.cos A=
2.若∠α的余角是30°,则cos α的值是 (D)
A. B. C. D.
3.(2024·西安模拟)若tan A=2,则∠A的度数估计在 (D)
A.在0°和30°之间 B.在30°和45°之间
C.在45°和60°之间 D.在60°和90°之间
4.如图,点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上,下列结论错误的是 (A)
A.sin B= B.sin C= C.tan B= D.sin2B+sin2C=1
5.(2024·娄底期末)如图是某幼儿园的滑梯的简易图,已知滑坡AB的坡度是1∶3,滑坡的水平宽度是6 m,则高BC为 (C)
A.3 m B.5 m C.2 m D.4 m
6.如图是某穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图,该起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,AD垂直于地面,垂足为点D,BC⊥AD,垂足为点C.设∠ABC=α,下列关系式正确的是 (D)
A.sin α= B.sin α= C.sin α= D.sin α=
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,点D在BC边上,CD=AC,AB=26,则BD的长为 (C)
A.10 B.12 C.14 D.16
8.(2024·广州质检)为解决停车问题,某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位,每个车位长6 m,宽2.4 m,矩形停车位与道路成60°角,则在这一路段边上最多可以开辟 个车位. (C)
(参考数据:≈1.7)
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,且AB=10,则AC= 8 .
10.已知x为锐角,且tan (x+10°)=,则cos (x-20°)= .
11.(2023·内江中考)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
12.(2024·岳阳期末)如图,点A,B,C是正方形网格中的格点,则cos∠BAC的值是 .
13.(2024·上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交边BC于点D,如果BD=4CD,那么tan B= .
14.如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向,轮船从A处以15海里/时的速度沿南偏西50°方向匀速航行,2小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向,则灯塔C与码头B相距 15 海里.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·淄博期中)计算:
(1)6tan230°-sin 60°-2sin 45°;
(2)cos 45°-(tan 40°+1)0++sin 30°.
【解析】(1)原式=6×()2-×-2×=6×--=-;
(2)原式=×-1++=-1+1=.
16.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,若AC=15,cos A=.求BC的长.
【解析】在Rt△ABD中,
∵AB=AC=15,cos A=,
∴AD=AB·cos A=15×=12,
∴BD===9.
∴CD=AC-AD=3.
在Rt△CBD中,BC===3.
答:BC的长为3.
17.(8分)北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统,它极大地方便了航海时轮船的定位.如图,灯塔B位于港口A的北偏东60°方向,且A,B之间的距离为30 km,灯塔C位于灯塔B的正东方向,且B,C之间的距离为9 km.一艘轮船从港口A出发,沿正南方向航行到达D处,测得灯塔C在北偏东37°方向上,这时,D处距离港口A有多远 (结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75,≈1.73)
【解析】延长CB交DA的延长线于E,
由题意得,∠E=90°,
∵∠BAE=60°,AB=30 km,
∴BE=AB·sin 60°=30×=15(km),
AE=AB·cos 60°=30×=15(km),
∵BC=9 km,
∴CE=BE+BC=(15+9)(km),
∴DE=CE÷tan 37°≈(9+15)÷0.75≈46.6(km),
∴AD=DE-AE=46.6-15≈32(km),
答:D处距离港口A约有32 km.
18.(8分)(2024·广安中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图(1),某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图(2)为测量示意图(点A,B,C,D均在同一平面内,AB⊥BC).已知斜坡CD长为20 m,斜坡CD的坡角为60°,在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=
30 m,求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位;参考数据:sin 20°≈0.34,
cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,≈1.73)
【解析】过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥BE于点H,
由题意得,DC=20 m,∠DCH=60°,
在Rt△DCH中,
∵cos 60°=,sin 60°=,∴CH=CD·cos 60°=10(m),
∴DH=CD·sin 60°=10(m)≈17.3(m),
∵∠DFB=∠B=∠DHB=90°,
∴四边形DFBH为矩形,∴BH=FD,BF=DH,
∵BH=BC+CH=30+10=40(m),∴FD=40 m,
在Rt△AFD中,=tan 20°,
∴AF=FD·tan 20°≈40×0.36=14.4(m),
∴AB=BF+AF=17.3+14.4=31.7(m)≈32(m),
答:该风力发电机塔杆AB的高度约为32 m.
19.(10分)阅读下列材料,并完成相应的任务.
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系:
如图1.sin α=,cos α=,tan α=.
一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:sin 15°=sin(45°-30)=sin 45°cos 30°-cos 45sin 30°=.
任务:
(1)计算:sin 75°=;
(2)如图2,在△ABC中,∠B=15°,∠C=45°,AC=2-2,求AB和BC的长.
【解析】(1)sin 75°=sin(30°+45°)
=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°
=×+×=.
(2)过点A作AD⊥BC于点D,在BC上找点E,使BE=AE,
∵∠C=45°,AC=2-2,
∴∠DAC=45°,∴AD=CD,
sin C=,即=,
∴AD=-.
∵∠B=15°,sin B=,即=,∴AB=4.
∵BE=AE,
∴∠B=∠EAB=15°,∴∠AED=30°,
∴AE=2AD=2-2,
∴ED=AE=3-,
∴BC=(2-2)+(3-)+(-)=2.
20.(10分)(2024·苏州中考)图①是某种可调节支撑架,BC为水平固定杆,竖直固定杆AB⊥BC,活动杆AD可绕点A旋转,CD为液压可伸缩支撑杆,已知AB=10 cm,
BC=20 cm,AD=50 cm.
(1)如图②,当活动杆AD处于水平状态时,求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号);
(2)如图③,当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α,
且tan α=(α为锐角),求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号).
【解析】(1)过点C作CE⊥AD,垂足为E,
由题意得,AB=CE=10 cm,BC=AE=20 cm,
∵AD=50 cm,
∴ED=AD-AE=50-20=30(cm),
在Rt△CED中,CD===10(cm),
∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm;
(2)过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G,
由题意得,AB=FG=10 cm,AG=BF,∠AGD=90°,
在Rt△ADG中,tan α==,
∴设DG=3x cm,则AG=4x cm,
∴AD===5x(cm),
∵AD=50 cm,
∴5x=50,
解得x=10,
∴AG=40 cm,DG=30 cm,
∴DF=DG+FG=30+10=40(cm),
∴BF=AG=40 cm,
∵BC=20 cm,
∴CF=BF-BC=40-20=20(cm),
在Rt△CFD中,CD===20(cm),
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm.
【附加题】(10分)
(2023·自贡中考)为测量学校后山高度,数学兴趣小组活动过程如下:
(1)测量坡角
如图1,后山一侧有三段相对平直的山坡AB,BC,CD,山的高度即为三段坡面的铅直高度BH,CQ,DR之和,坡面的长度可以直接测量得到,要求山坡高度还需要知道坡角大小.
如图2,同学们将两根直杆MN,MP的一端放在坡面起始端A处,直杆MP沿坡面AB方向放置,在直杆MN另一端N用细线系小重物G,当直杆MN与铅垂线NG重合时,测得两杆夹角α的度数,由此可得山坡AB坡角β的度数.请直接写出α,β之间的数量关系.
(2)测量山高
同学们测得山坡AB,BC,CD的坡长依次为40米,50米,40米,坡角依次为24°,30°,45°;为求BH,小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3),量得KT≈5 cm,TS≈2 cm.求山高DF.(≈1.41,结果精确到1米)
(3)测量改进
由于测量工作量较大,同学们围绕如何优化测量进行了深入探究,有了以下新的测量方法.
如图4,5,在学校操场上,将直杆NP置于MN的顶端,当MN与铅垂线NG重合时,转动直杆NP,使点N,P,D共线,测得∠MNP的度数,从而得到山顶仰角β1,向后山方向前进40米,采用相同方式,测得山顶仰角β2;画一个含β1的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米,b1厘米,再画一个含β2的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米,b2厘米.已知杆高MN为1.6米,求山高DF.(结果用不含β1,β2的字母表示)
【解析】(1)∵铅垂线与水平线垂直,
∴α+β=90°,
故α,β之间的数量关系为α+β=90°;
(2)在Rt△ABH中,
∵AB=40米,∠BAH=24°,sin∠BAH=,
∴sin 24°=,
在Rt△TKS中,
∵KT≈5 cm,TS≈2 cm,∠TKS=24°,sin∠TKS=,
∴sin 24°=,
∴=,
解得BH=16米,
在Rt△CBQ中,
∵BC=50米,∠CBQ=30°,
∴CQ=CB=25米,
在Rt△DCR中,
∵CD=40米,∠DCR=45°,
sin∠DCR=,
∴DR=CD·sin∠DCR=40·sin 45°=20(米),
∴DF=BH+CQ+DR=16+25+20≈69(米),
答:山高DF约为69米;
(3)由题意,得tan β1=,tan β2=,
在Rt△DNL中,
∵tan β1=,
∴=,
∴NL=DL,
在Rt△DN'L中,
∵tan β2=,
∴=,
∴N'L=DL,
∵NL-N'L=NN'=40(米),
∴DL-DL=40,
解得DL=,
∴山高DF=DL+LF=+1.6(米),
答:山高DF为(+1.6)米.第二十八章 锐角三角函数（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则 ( )
A.sin A= B.tan B= C.cos B= D.cos A=
2.若∠α的余角是30°,则cos α的值是 ( )
A. B. C. D.
3.(2024·西安模拟)若tan A=2,则∠A的度数估计在 ( )
A.在0°和30°之间 B.在30°和45°之间
C.在45°和60°之间 D.在60°和90°之间
4.如图,点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上,下列结论错误的是 ( )
A.sin B= B.sin C= C.tan B= D.sin2B+sin2C=1
5.(2024·娄底期末)如图是某幼儿园的滑梯的简易图,已知滑坡AB的坡度是1∶3,滑坡的水平宽度是6 m,则高BC为 ( )
A.3 m B.5 m C.2 m D.4 m
6.如图是某穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图,该起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,AD垂直于地面,垂足为点D,BC⊥AD,垂足为点C.设∠ABC=α,下列关系式正确的是 ( )
A.sin α= B.sin α= C.sin α= D.sin α=
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,点D在BC边上,CD=AC,AB=26,则BD的长为 ( )
A.10 B.12 C.14 D.16
8.(2024·广州质检)为解决停车问题,某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位,每个车位长6 m,宽2.4 m,矩形停车位与道路成60°角,则在这一路段边上最多可以开辟 个车位. ( )
(参考数据:≈1.7)
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,且AB=10,则AC= .
10.已知x为锐角,且tan (x+10°)=,则cos (x-20°)= .
11.(2023·内江中考)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
12.(2024·岳阳期末)如图,点A,B,C是正方形网格中的格点,则cos∠BAC的值是 .
13.(2024·上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交边BC于点D,如果BD=4CD,那么tan B= .
14.如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向,轮船从A处以15海里/时的速度沿南偏西50°方向匀速航行,2小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向,则灯塔C与码头B相距 海里.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·淄博期中)计算:
(1)6tan230°-sin 60°-2sin 45°;
(2)cos 45°-(tan 40°+1)0++sin 30°.
16.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,若AC=15,cos A=.求BC的长.
17.(8分)北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统,它极大地方便了航海时轮船的定位.如图,灯塔B位于港口A的北偏东60°方向,且A,B之间的距离为30 km,灯塔C位于灯塔B的正东方向,且B,C之间的距离为9 km.一艘轮船从港口A出发,沿正南方向航行到达D处,测得灯塔C在北偏东37°方向上,这时,D处距离港口A有多远 (结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75,≈1.73)
18.(8分)(2024·广安中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图(1),某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图(2)为测量示意图(点A,B,C,D均在同一平面内,AB⊥BC).已知斜坡CD长为20 m,斜坡CD的坡角为60°,在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=
30 m,求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位;参考数据:sin 20°≈0.34,
cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,≈1.73)
19.(10分)阅读下列材料,并完成相应的任务.
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系:
如图1.sin α=,cos α=,tan α=.
一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:sin 15°=sin(45°-30)=sin 45°cos 30°-cos 45sin 30°=.
任务:
(1)计算:sin 75°= ;
(2)如图2,在△ABC中,∠B=15°,∠C=45°,AC=2-2,求AB和BC的长.
20.(10分)(2024·苏州中考)图①是某种可调节支撑架,BC为水平固定杆,竖直固定杆AB⊥BC,活动杆AD可绕点A旋转,CD为液压可伸缩支撑杆,已知AB=10 cm,
BC=20 cm,AD=50 cm.
(1)如图②,当活动杆AD处于水平状态时,求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号);
(2)如图③,当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α,
且tan α=(α为锐角),求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号).
【附加题】(10分)
(2023·自贡中考)为测量学校后山高度,数学兴趣小组活动过程如下:
(1)测量坡角
如图1,后山一侧有三段相对平直的山坡AB,BC,CD,山的高度即为三段坡面的铅直高度BH,CQ,DR之和,坡面的长度可以直接测量得到,要求山坡高度还需要知道坡角大小.
如图2,同学们将两根直杆MN,MP的一端放在坡面起始端A处,直杆MP沿坡面AB方向放置,在直杆MN另一端N用细线系小重物G,当直杆MN与铅垂线NG重合时,测得两杆夹角α的度数,由此可得山坡AB坡角β的度数.请直接写出α,β之间的数量关系.
(2)测量山高
同学们测得山坡AB,BC,CD的坡长依次为40米,50米,40米,坡角依次为24°,30°,45°;为求BH,小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3),量得KT≈5 cm,TS≈2 cm.求山高DF.(≈1.41,结果精确到1米)
(3)测量改进
由于测量工作量较大,同学们围绕如何优化测量进行了深入探究,有了以下新的测量方法.
如图4,5,在学校操场上,将直杆NP置于MN的顶端,当MN与铅垂线NG重合时,转动直杆NP,使点N,P,D共线,测得∠MNP的度数,从而得到山顶仰角β1,向后山方向前进40米,采用相同方式,测得山顶仰角β2;画一个含β1的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米,b1厘米,再画一个含β2的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米,b2厘米.已知杆高MN为1.6米,求山高DF.(结果用不含β1,β2的字母表示)
