2.4.1 圆的标准方程即时小练
一、选择题
1．若一圆的圆心坐标为，直径AB的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
2．方程表示的曲线是( )
A.半圆 B.圆 C.两个圆 D.两个半圆
3．若圆被直线平分，则( )
A. B.1 C. D.2
4．点与圆的位置关系为( )
A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值有关
5．若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
6．已知点在圆的内部,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．若,,,四点共圆,则m的值为( )
A.2 B. C. D.3
8．已知圆的方程是，则下列各点在圆内的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
9．已知圆C的圆心为点,且经过原点,则圆C的标准方程为__________.
10．点在圆上，则实数a的值是___________.
11．圆，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是___________.
四、解答题
12．平面直角坐标系中有四点，这四点是否在同一个圆上 为什么
13．已知三点，，，以点为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
14．在中，，，AC边上的中线所在直线的方程为，BC边上的高所在直线的斜率为.
（1）求直线BC的方程；
（2）求以线段AC为直径的圆的标准方程.
参考答案
1．答案：A
解析：易知直径AB两端点的坐标分别为，，所以圆的半径为.因为圆心坐标为，所以所求圆的标准方程是.故选A.
2．答案：A
解析：由题意知，，原方程可化为，所以该方程表示的曲线是以为圆心，1为半径，直线上方的半圆.故选A.
3．答案：D
解析：由题意得圆心在直线上，则，解得.故选：D.
4．答案：A
解析：，点在圆的外部，故选A.
5．答案：A
解析：圆C经过点，，可得线段AB的中点为，又，所以线段AB的中垂线的方程为，即.由解得即，圆C的半径，所以圆C的方程为.故选A.
6．答案：A
解析：由于在圆的内部,
所以点到圆心的距离,即,整理得.故选：A.
7．答案：AD
解析:根据题意可设圆方程为,
将点,,代入可得,解得;
即圆方程为,
又点在圆上,所以,整理得,解得或.故选:AD
8．答案：BC
解析：
A × ，在圆外.
B √ ，在圆内.
C √ ，在圆内.
D × ，在圆外.
9．答案：
解析：圆C的标准方程为.
10．答案：或
解析：因为点在圆上，
所以，故或，故答案为：或.
11．答案：1
解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即，当时，最小，此时.
12．答案：见解析
解析：是.设经过A，B，C三点的圆的方程为.①
把A，B，C的坐标分别代入①，得
解此方程组，得
所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是.
把点D的坐标代入上面方程的左边，得.
所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，即A，B，C，D四点在同一个圆上.
13．答案：
解析：，
，
，
，所求圆的半径，方程为.
14．答案：见解析
解析：（1）因为BC边上的高所在直线的斜率为，所以直线BC的斜率为-2，因为，所以直线BC的方程为，即.
（2）设，因为AC边上的中线所在直线的方程为，所以，解得.因为直线BC的方程为，所以，解得，所以,所以所求圆的圆心为线段AC的中点,半径，所以所求圆的方程为.
