2024-2025学年安徽省县中联盟高二（上）月考
数学试卷（10月份）（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆与圆，则与的位置关系为( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.两平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知，，是边长为的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知曲线：，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.过作与圆：相切的两条直线，，切点分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
8.在四面体中，，平面，，点，分别为棱，上的点，且，则直线与直线夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则( )
A. 长轴长为 B. 两个焦点的坐标分别为，
C. 的最大值是 D. 的周长为
10.设，直线的方程为，则( )
A. 直线过定点
B. 若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为
C. 直线与圆：相交
D. 点到直线的最大距离为
11.在坐标系中，，，轴两两之间的夹角均为，向量分别是与，，轴的正方向同向的单位向量空间向量，记，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则三棱锥的体积为
D. 若，且，则夹角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ______．
13.已知经过点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程为______．
14.设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三点，，，记的外接圆为．
求的标准方程；
若直线：与交于，两点，求的面积．
16.本小题分
已知直线过点，且与轴，轴分别交于点，．
当时，求的方程；
若，，求当取最小值时，的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点．
证明：；
当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
当二面角的余弦值为时，求．
18.本小题分
已知椭圆经过点与点．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于异于的，两点，且．
证明：直线过定点；
求的面积的最大值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
求经过，的直线的点方向式方程；
已知平面：，平面：，平面：，若，，证明：；
已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
参考答案
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15.解：设的方程为，由题意得
解得，，，所以的方程为，化成标准方程得．
由可知圆心为，半径，
所以圆心到直线：的距离，可得．
因此，的面积．
16.解：直线过点，且与轴，轴分别交于点，．
若，则，即过点，又过点，则的方程为，即，
若，则，设的方程为，所以，
将代入方程，得，解得，所以的方程为，即．
所以直线的方程为或．
设直线的方程为，由直线经过点得，，
则，
当且仅当，即时取得等号，故，
所以的方程为，即．
17.解：证明：因为，
所以，
所以，
又，且，，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
因为，所以，
则．
由可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
当点为棱的中点时，，
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，解得，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
由可知，
设，
则，
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，解得，，
故，
设平面的一个法向量为，
则，则，得，
令，解得，，
故，
所以，
即，
整理，得，
解得或舍去，
故．
18.解：设椭圆的方程为，
由题意可得
解得，，
故椭圆的方程为．
证明：易知直线的斜率不为，设直线的方程为，则，
联立与直线的方程，得，消去并整理，
得，则，
所以，设，，则，．
因为，所以，
即，
所以，
则，
整理，得，解得舍去．
所以直线的方程为，故直线过定点．
由知，则，，
直线过定点，设为，则，
所以的面积为．
设，则，所以，
由函数在上单调递增知，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故的面积的最大值为．
19.解：，，
直线的方向向量为，
直线的点方向式方程为；
证明：由平面为：，
平面的法向量为，
由平面为：，
平面的法向量为，
设交线的方向向量为，
则根据题意可得，取，
又平面：的法向量为，
，又，
；
设侧面所在平面的法向量，
又平面经过三点，，，
，
，，取，
又平面：的法向量为，
由可求得平面与平面的交线的方向向量为，
平面：的法向量为，
由，
解得，，
，
平面与平面夹角的大小为．
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