2024-2025学年江苏省徐州三中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.与椭圆恰有公共点，则的范围( )
A. B. C. D.
6.已知圆：平分圆：的周长，则( )
A. B. C. D.
7.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，给出以下个命题，真命题的是( )
A. 直线与双曲线有两个交点
B. 双曲线与有相同的渐近线
C. 双曲线的焦点到一条渐近线的距离为
D. 双曲线的焦点坐标为，
10.下列结论正确的是( )
A. 已知点在圆：上，则的值可能是
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
11.已知椭圆的焦点为，点为椭圆内一点若椭圆上存在一点，使得，则的值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______．
13.数学月考出了这样一道题：设，为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆小峰顿悟，于是写出了答案：______．
14.如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
16.本小题分
已知双曲线，且双曲线上存在关于直线：的对称的两点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为．
Ⅰ求抛物线的方程；
Ⅱ若抛物线与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为，求的值．
18.本小题分
设有三点，，，其中点，在椭圆：上， ， ，且．
求椭圆的方程；
若过椭圆的右焦点的直线倾斜角为，直线与椭圆相交于、，求三角形的面积．
19.本小题分
如图，已知圆：和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有．
求点的轨迹方程；
若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；
求的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：设的中点为，连接
由，故F，即．
在中，，故．
根据双曲线的定义有，即，即，即，即，故双曲线的渐近线方程是，即．
16.解：假设双曲线上存在关于直线：的对称的两点，．
当时，不满足条件，舍去；
当时，直线的方程为，，，线段的中点为
联立，化为，．
，
化为
，
，，
代入直线：，可得，
化为，代入可得，
整理为，
解得或．
解得，或，或且．
综上可得：的取值范围是，或，或且．
17.解：Ⅰ由题意设抛物线方程为，其准线方程为，
到焦点的距离等于到其准线的距离，
，，
抛物线的方程为；
Ⅱ由消去，得
直线与抛物线相交于不同两点、，
则有，，解得且，
设，
又，
解得 ，或舍去
的值为．
18.解：由题意知，，设，
由，得，则，
将点代入椭圆方程，可得，即．
椭圆方程为；
．
直线的方程为，代入椭圆方程，
整理得：，则或．
交点坐标为和，
，
点到直线的距离．
．
19.解连接、，则为直角三角形，
又，
所以，
所以，
故；
以为圆心的圆与圆有公共点，半径最小时为与圆相切的情形，
而这些半径的最小值为圆到直线的距离减去圆的半径，圆心为过原点且与垂直的直线与的交点，
所以，
又：，联立：得，
所以所求圆的方程为；
设关于直线：的对称点为，
则，
解答，，即，
所以，当，，三点共线时，取等号，
故的最大值为．
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