第二十一章 一元二次方程2024-2025学年九年级上册数学人教版
一元二次方程的相关概念
典型例题
例1 将一元二次方程 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是( )
A.2,-1 B.2,0 C.2,3 D.2,-3
例2关于x的一元二次方程 两根为 则关于x的方程 的两根为___________
考点精练
1. 下列方程中是一元二次方程的是 ( )
A.2x+1=0
2.已知关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 .
3.若2是关于x的方程 的一个根,则c= ( )
A.2 B.4 C.-4 D.-2
4.把方程 化为成一元二次方程的一般形式是 ( )
5.将一元二次方程 化成一般形式后，常数项为-1，二次项系数和一次项系数分别是 ( )
A.5,-1 B.5,4 C.5,-4 D.5,1
6.将一元二次方程x(x-9)=-3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是 ( )
A.9,3 B.9,-3 C.-9,-3 D.-9,3
7.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1的方程是 ( )
8.已知x=2是一元二次方程 的一个根，则另一根是 .
9.古希腊数学家欧几里得的《几何原本》记载，形如 的方程的图解法是:如图,画Rt△ABC,∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取 则该方程的一个正根是( )
A. AC的长 B. BC的长
C. AD的长 D. CD的长
一元二次方程的解法
典型例题
例1 解一元二次方程 配方后正确的是 ( )
例2 若关于x的一元二次方程 有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根.
例3“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 它的解是________.
考点精练
1. 解一元二次方程 配方后正确的是 ( )
D.(x-1) =5
2.用配方法解方程 时，配方后正确的是 ( )
3.用配方法解一元二次方程 配方后得到的方程是 ( )
A.(x+6) =28
4.“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 它的解是
5.解下列方程：
6. 解下列方程:
7.已知3是一元二次方程 的一个根，求a的值和方程的另一根.
8.若关于x的一元二次方程 一个根为4，求方程另一个根和k的值.
一元二次方程根的判别式
典型例题
例1 下列一元二次方程有实数根的是 ( )
考点精练
1.不解方程，判断方程 的根的情况是 ( )
A.无实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.以上说法都不正确
2.不解方程，判定方程 的根的情况是 ( )
A.无实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根
3.已知关于x的一元二次方程(k+1)x -2x+1=0有实数根,则k的取值范围是 .
4.若关于x的一元二次方程kx -2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围 .
5.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根.
6.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
7.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求m的值及方程的根.
8.已知a，b为正整数，且满足 则a+b的值为 ( )
A.4 B.10 C.12 D.16
9.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围； (2)当k=1时，用配方法解方程.
一元二次方程根与系数的关系
典型例题
例1 已知一元二次方程 的两根分别为m,n,则 mn-m-n的值是( )
A.5 B.3 C.-3 D. -5
例2 关于x的一元二次方程： 有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根.
考点精练
1.若x ,x 是方程: 的两个根，则( )
2.设一元二次方程 的两根分别为x 、x ，则下列结论错误的是 ( )
3. 已知α、β是一元二次方程 的两个不相等的实数根，则α+β+αβ的值为 ( )
A. -1 B.5 C.3 D.-2
4.一元二次方程 的两根为x ,x ,则 的值为 ( )
A. B. -3 C.3
5.已知m、n是一元二次方程 的两根，则 的值是 ( )
A.4 B.-2 C.2 D.-4
6.已知m，n是一元二次方程 的两根，则 的值是( )
A.1 B. -1 C.
7.已知关于x的一元二次方程 有一个根是x=2，求c与另一个根.
8.若关于x的一元二次方程 的一个根为1，求m的值及方程的另一个根.
利用根的定义与根系关系求值——整体思想
典型例题
例1 已知m、n是一元二次方程 的两根，则 的值是 ( )
A.4 B. -2 C.2 D. -4
例2 已知a,b是方程 的两根，求代数式 的值.
考点精练
1.已知m、n是一元二次方程 的两个根，则 的值为 ( )
A.0 B.-10 C.3 D.10
2.如果 m、n 是一元二次方程 的两个实数根，那么多项式 的值是 ( )
A.16 B.14 C.10 D.6
3.已知实数a、b分别满足 且a≠b,则 的值为 ( )
A.36 B.50 C.28 D.25
4.α,β是方程 的两个实数根，则 的值为 ( )
A.5 B. -5 C.0 D.10
5.设x ，x 是一元二次方程 的两根，则 等于 ( )
A.1 B.5 C.11 D.13
6.若α，β为一元二次方程 的两个根，则 的值为 ( )
A.1 B.0 C.2022 D. -1
7.已知一元二次方程 的两根分别为x ，x ，求 的值.
8.已知m,n是方程; 的两根，求代数式. 的值.
一元二次方程的应用(一)增长率问题
典型例题
例1 某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是 ( )
D. 1999(1-2x)=1360
考点精练
1. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降. 两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元. 设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是 ( )
2.某市某汽车生产企业的利润逐年提高.据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为2.88亿元，若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润是 ( )
A.0.576亿元 B.3.32亿元 C.3.456亿元 D.4.1472亿元
3. 某市某汽车生产企业的利润逐年提高.据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为2.88亿元，若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润是 ( )
A.0.576亿元 B.3.32亿元 C.3.456亿元 D.4.1472亿元
4. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同. 那么按照这个平均增长率，则预计五月份这家商店的盈利将达到多少元
5.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，求该种商品每次降价的百分率；
6.疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，求二、三两个月新注册用户每月平均增长率.
一元二次方程的应用(二)面积问题
典型例题
例1 若一个长方形的长比宽多2，且面积为80，则宽是 .
例2 如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ( )
A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m
考点精练
如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，彩条所占的面积是图案面积的 ，如果设竖彩条宽度为 xcm，则可以列出一元二次方程为 _______________
如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为80m，下底长为100m，上下底相距80m，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的六分之一，甬道的宽应是多少米 (中间甬道的中位线等于梯形上下底和的一半)
3. 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留根号)
4.两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜园(篱笆全部使用完)，如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门. 假设篱笆CD的长为 xm，回答下面的问题：
(1)用含x的式子表示篱笆DE的长为 m,x的取值范围是 ;
(2)菜园的面积能不能等于90m 若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由.
一元二次方程的应用(三)其他问题
典型例题
例1 在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感. 如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 ( )
参考数据： ≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
例2 某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A，B两类(A类直接销售，B类深加工后再销售)，并全部售出. A类农产品的销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(单位：吨)之间的函数关系是y=-x+13. B类农产品深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：吨)之间的函数关系是s=12+3t，销售价格为9万元/吨. (注：总利润=售价-总成本)
(1)设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量.
①B类农产品有 吨;
②A类农产品所获得总利润为的人民的人民的人民的人民的人民的人民的______万元；
③B类农产品所获得总利润为 万元.
(2)若两类农产品获得总利润和为30万元，问A，B两类农产品各有多少吨
考点精练
1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人.
2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x= .
3.白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场.
4. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共有 人.
5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是 ( )
A.165cm B.178cm C. 185cm D.190cm
6.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点(AP>BP),若满足 则称点P是AB的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ( )
D.以上都不对
