2024-2025学年重庆市七校联考高一上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
3.设集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
4.英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于任意实数、、、，下列命题是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.集合或，，若为实数集，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，，不等式恒成立，则实数的最大值等于( )
A. B. C. D.
8.当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 方程的解集是
B. 由，，组成的集合可表示为或
C. 以内的素数组成的集合是
D. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形
10.下列说法不正确的是( )
A. 函数与是同一个函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有个
C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 函数的最小值为
11.如图所示，四边形为梯形，其中，，为对角线的交点有条线段、、、夹在两底之间表示平行于两底且于他们等距离的线段即梯形的中位线，表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行与两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段下列说法中正确的有( )
A. 若，，则． B. ，，，
C. ，，， D. ，，，．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为 可用区间表示
14.已知集合有且仅有两个子集，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，的定义域为集合，为实数集．
求集合和
求，B.
16.本小题分
设函数．
若不等式的解集为，求，的值
当时，，，，求的最小值．
17.本小题分
已知关于的方程有实数根，．
若命题是真命题，求实数的取值范围
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知二次函数满足，且
求的解析式
若在区间上，的值域为，求的取值范围．
若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．
19.本小题分
两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧不含两点上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为．
将表示成的函数；
判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由可得，或，则或，
由有意义，可得，即，故B
由可得，则
，．
16.解：由题意知，和是方程的两根，
所以，， 解得，．
由，知，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
17.解：因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是；
由知，若命题是真命题，则：，
因为命题是命题的必要不充分条件，
则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是．
18.解：设二次函数，，
由题意知：
整理得：
即：，解得：
．
因为，所以其图像的对称轴为直线，当时，．
因为当时，，
由二次函数图像可知
解得
所以的取值范围是．
由知，的图象开口向上，
时，，解得：或，
当，，图象在轴下方，当，，图象在轴上方，
对于，当时，，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去
当时，，开口向上，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去
当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方，即恒成立，即：恒成立，
即：恒成立，，即有：，即：．
综上，的取值范围是：
19.解：由为直径，得，
由已知得
又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，
即，，代入上式得，解得
所以表示成的函数为：
令
则
又，当且仅当，即，等号成立，
所以，当时，等号成立．
所以弧上存在一点，该点到城的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小为．
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