八年级上册数学第二次月考卷（第十二章、第十三章综合）
一、单选题
1．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知等边中，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．点关于轴对称点的坐标为( )
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．如图，，点是中的一定点，点、分别在射线、上移动．当的周长最小时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．如图，已知，若，则 ．
12．如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ．
13．已知△ABC中,AH⊥BC，垂足为H,若AB+BH=CH,∠ABH=80°,则∠BAC= 。
14．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接分别平分和并交于点交于点，已知，则的度数为
15．如图，在中，，E是边上一点，，点D在边上以1个单位/s的速度由点B向点C运动，同时点F在边上以x个单位/s的速度由点C向点A运动，若运动过程中存在某一时刻与全等（其中与是一组对应角），则x的值为 ．
三、解答题
16．请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复）
17．如图，已知点B、D、E、C四点在一条直线上，且．求证：．
18．如图，，．求证：．
19．如图，已知，与交于点B，．求证：．
20．如图，在中，，D为上一点，在中，，．
求证：
(1)；
(2)．
21．【问题背景】
如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________．
【探索延伸】
如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
22．在中，平分，平分，与交于点O．
(1)如图1，若，直接写出的大小为__________；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，，则__________．
23．如图，等边中，过顶点A在边的右侧作射线，．点与点关于直线对称，连接，，且交射线于点．过，两点作直线交射线于点．
(1)当时，求的度数；
(2)在变化过程中，的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求的大小；
(3)探究线段，，之间的数量关系，并证明．
/ 让教学更有效 精品 |
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可证，从而得到，最后利用三角形外角和定理得到，即可得到答案．
【详解】解：是等边三角形
，
在与中
故选：C．
4．D
【分析】根据平面直角坐标系中关于x轴对称点的坐标特点解答即可．
【详解】解：点关于轴对称点的坐标为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的特点，是解题的关键．
5．B
【分析】此题考查了坐标与图形，证明得到，是解决问题的关键．
过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，运用证明得到，即可求得结论．
【详解】解：过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据题意可得，得到，根据平角的性质可得，即，根据三角形的内角和，，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故选：A ．
7．B
【分析】延长与交于点E，根据三线合一可得，，根据等腰三角形的判定求出，进而可得的长．
【详解】解：延长与交于点E，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解本题的关键．
8．C
【分析】设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．
【详解】解：如图所示：分别作点关于、的对称点、，连接，、、，交、于点、，连接、，
此时周长的最小值等于的长．
由轴对称性质可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又易知，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，将的周长最小值转化为的长是解题的关键．
9．C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．B
【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，同角的余角性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，是解决本题的关键．
根据，，得到，根据，得到，判断①正确；根据，，得到，判断②正确；过H作于I，根据角平分线性质得到，根据，即得，判断③不正确；连接，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据三角形外角性质得到，根据，推出，即得，判断④正确．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴①正确；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴②正确；
③过H作于I，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴③不正确；
④如图，连接，
∵，平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴④正确．
∴正确的有：①②④．
故选：B．
11．/80度
【分析】本题考查全等三角形的性质．根据“全等三角形的对应角相等”即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
12．8
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
故答案为：8．
13．60°或40°
【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：锐角三角形时，在CH上截取DH=BH，连接AD，即可得到△ABH≌△ADH，进而得到CD=AD，再由三角形外角的性质即可得出∠B的大小；钝角三角形时，直接由三角形外角的性质即可得出∠B的大小.
【详解】当△ABC为锐角三角形时，
在CH上截取DH=BH，连接AD，如图：
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHD=90°，
在△ABH≌△ADH中，
∵
∴△ABH≌△ADH(SAS)，
∴AD=AB，∠ABH=∠ADB=80°，∠BAH=∠DAH，
∵AB+BH= CH，HD+CD=CH
∴AD=CD
∴∠C=∠DAC=40，
∴∠．
当△ABC为钝角三角形时，
如图：
∵AB+BH= CH，BC+ BH =CH
∴AB=CB
∴∠BAC=∠C=40，
故答案为：60°或40°
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质及三角形外角的性质，根据题意分类讨论，作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
14．
【分析】设∠BAD=x，根据垂直平分线性质证得∠BAD=∠DBA= x，由条件可得∠CAD=∠ADC=2 x,再利用三角形外角性质用x表示出，从而求出x的值.然后利用三角形外角性质用x表示出，即可求出结果.
【详解】解：设∠BAD=x，
∵垂直平分，
∴AD=BD,
∴∠BAD=∠DBA= x,
∵
∴∠CAD=∠ADC=2 x,
∵分别平分，
∴∠ABF=∠DBF= x,
∴∠AGF=∠ABF+∠BAG = x+x+2x= x,
∴ x=,
∴x=,
∵分别平分,
∴∠FDC= x,
∴∠F=∠FDC-∠DBF = x- x= x=×.
故答案是：.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形外角性质、角平分线的定义，正确识图综合运用上述性质进行推理计算是解题关键.
15．1或
【分析】此题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键，根据全等三角形对应边相等即可求出答案，
【详解】解：设D、F运动的时间是t秒，
当时，
∴，，
∴，
∵，
∴；
当时，
∴，
∵D和F同时出发，运动的路程相同，
∴D和F的速度相同，
∴，
∴x的值为1或．
故答案为：1或．
16．见解析
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．
【详解】如图所示：
17．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先由全等三角形对应边相等，对应角相等得到，再证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，，
，
∴．
19．见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．证明，即可得到，即可证明结论．
【详解】证明：在和中，
，
，
,
．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1）先证明，结合，从而可得结论；
（2）延长至，使，连接，证明是线段的垂直平分线，可得，，，证明，再结合全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵D为上一点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长至，使，连接，
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．[初步探索]：；[探索延伸]：结论仍然成立，理由见解析；[结论运用]：210海里．
【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
（2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
（3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案．
【详解】解：[初步探索]：；理由如下：
，，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
∴，
，
，
，
故答案为：；
[探索延伸]：结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到，使，连接，
，，，
，
在和中，
，
∴
，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
；
[结论运用]：如图3，连接，延长、交于点，
，，，
，
，，
符合探索延伸中的条件，
结论成立，
即海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；
（2）过点O作，，，证明，得到，，，得到，，即可得到结论，
（3）在上截取，，连接，，作，，由，平分，平分，得到，，由，得到，设，，由，，得到，，，，进而得到，，根据角平分线的性质定理，得到
，由，，得到，根据即可求解，
本题考查了，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：等高三角形的面积比等于底边之比．
【详解】（1）解：在中，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
在中，，
（2）解：过点O作，，，垂足分别为，，，
在中，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，，，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
（3）解：在上截取，连接，，过点作于，于，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴设，，
∵，，，
∴，
∴，，
同理可证，，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
23．(1)
(2)时，
(3)①当时，；②当时，
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据轴对称的性质得到，求得，得到；当时，如图1．得到，求得∠，于是得到；
（2）①当时，，D，F在射线上，如图1．得到，求得，于是得到；②当时，，D，F在点A的两侧，如图2．根据轴对称的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，于是得到；
（3）连接，在上截取，连接．由（2）知，根据等边三角形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到；①当时，如图3．根据全等三角形的性质得到．求得；②当时，如图4．得到，根据全等三角形的性质得到．求得．
【详解】（1）：是等边三角形，
∴，，
∵点B与点E关于直线对称，且交射线于点D，
，
，
，
∴；
当时，如图1．
，
，
；
（2）解：①当时，，D，F在射线上，如图1．
，
，
，
；
②当时，，D，F在点A的两侧，如图2．
∵点B与点E关于直线对称，且交射线于点D，
，
，
∵是等边三角形，，
，
，
，
；
∴综上所述，当时，；
（3）解：连接，在上截取，连接．
由（2）知，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
．
∵点B与点E关于直线对称，且交射线于点D，
∴为中垂线，
，
又，
，
；
①当时，如图3．
，
，
，
，
．
，
；
②当时，如图4．
，
，
，
．
，
，
综上所述，①当时，；②当时，．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
