2025届新高考一轮复习特训 对数函数
一、选择题
1．记，，，则( )
A. B. C. D.
2．已知,则a所在区间是( )
A. B. C. D.
3．函数的递增区间为( )
A. B. C. D.
4．设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
6．设,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7．函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
8．已知,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．对于定义域为D的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）
A. B. C. D.
10．已知函数是定义域为的单调函数,且满足对任意的,都有,则( )
A.
B.若关于的方程（）有2个不相等的实数根,,则
C.若函数的值域为R,则实数a的取值范围为
D.若函数满足对任意的实数,,且,都有成立,则实数a的取值范围为
11．下列各式的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知函数(且)，若函数的值域是，则实数a的取值范围是________.
13．已知函数在区间上恒正，则实数a的取值范围为____________.
14．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是_____.
四、解答题
15．已知函数是偶函数.
(1)求a的值;
(2)设 ,,若对任意的 ,存在,使得,求m的取值范围.
16．已知函数.
(1)若的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若的值域为R,求实数a的取值范围.
17．已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数.
（1）求a的值；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
18．判断正误.
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型.( )
（2）对任意的，.( )
（3）对任意的，.( )
（4）在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.( )
19．对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的.已知函数，.
（1）若与在区间上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数与在区间上是否“友好”.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，幂函数在上单调递增，
又，所以，
所以，
又对数函数在上单调递减，所以，
故.
故选：D.
2．答案：B
解析：由,则,因此,
又,则,因此,
故,
由,则,因此,
又,则,因此,
故,
,即,
结合选项知,a所在区间是,
故答案为:B.
3．答案：C
解析：设,可得函数在单调递减,在单调递增,
又由函数,满足,解得或,
根据复合函数的单调性,可得函数的单调递增区间为.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故选：B
5．答案：D
解析：由于，
又函数在R上单调递增，所以，
故.
故选：D
6．答案：D
解析：因为,故.
故选:D.
7．答案：A
解析：由得或,
易知函数在上递减,在上递增,
又是减函数,所以原函数的增区间是.
故选:A.
8．答案：A
解析：,,
故.
故选：A.
9．答案：BD
解析：对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；
对B，，可假设在存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；
对C，，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”；
对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”.
故选BD.
10．答案：ABD
解析：令,则,
函数是定义域为的单调函数,
因为,所以,解得,
所以.
对于选项A:,故A正确;
对于选项B:若关于的方程（）有2个不相等的实数根,
则,即,
因为,所以,
所以,故B选项正确;
对于选项C:函数的值域为R,
则,
即或,故C不正确,
对于选项D:由函数满足对任意的实数,,
且,都有成立,
所以函数在R上单调递增,
所以,故D选项正确,
故选:ABD.
11．答案：AC
解析：对于选项A，B：由指数函数与幂函数可知：
当时，有，因为，所以，故选项A正确；
当时，有，因为，所以，故选项B错误；
对于选项C：要判断与的大小，只需比较，4的大小，
因为，所以，即，故选项C正确；
对于选项D：因为，，
所以
所以，即.故选项D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即；
若函数的值域是，则时，.
当时，在上单调递增，
此时，不合题意；
当时，在上单调递减，
此时，即，则，
所以，显然，解得，
又，所以.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：
解析：设，则的图象的对称轴为直线.由，得.当时，，所以在区间上单调递增.①若，则单调递减，则由时，，可得，因此.②若，则单调递增，则由时，，可得，因此.综上，实数a的取值范围为.
14．答案：
解析：函数在区间上是增函数,
函数在区间上为正值,且是增函数,,且
,解得,故答案为: .
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是偶函数,
所以,
即,
,
,
,
,
,
,
,
所以,即.
(2),
因为对任意的 ,存在,使得,
所以在上的最小值不小于在上的最小值,
因为在上单调递增,
所以,
因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,解得,
所以m的取值范围为.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)函数的定义域为R,
即在R上恒成立.
当时,得或.
当时,显然在R上不能恒成立,故舍去;
当时,恒成立;
当,即时,则.
解得或.
综上可得,实数a的取值范围为.
(2)设,的值域为R,
的函数值要取遍所有的正数,
即是值域的子集.
当时,得或.
当时,符合题意;
当时,不符合题意;
当时,函数为二次函数,
即函数的图象与x轴有交点且开口向上,
则,解得.
综上可知,实数a的取值范围为.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为函数的图象关于原点对称，
所以，即，
所以恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，
解得，
又时，无意义，
故.
（2）因为时，恒成立，
所以恒成立，
所以在上恒成立，
因为是减函数，
所以当时，，
所以，
所以实数m的取值范围是.
（3）因为在上单调递增，在上单调递减，
因为关于的方程在上有解，
所以即
解得，
所以实数k的取值范围是.
18．答案：正确；错误；错误；正确
解析：（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型，故正确；
（2）对任意的，当，时，不恒成立，故错误；
（3）对任意的，当时，不恒成立，故错误；
（4）在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型，故正确.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）若与在区间上都有意义，则必须满足，解得，又且，所以a的取值范围为.
（2）假设存在实数a，使得与在区间上是“友好”的，则，即，因为，则，，所以在的右侧，
由复合函数的单调性可得在区间上为减函数，
从而当时，，当时，，
所以，即，解得，
所以当时，与在区间上是“友好”的；
当时，与在区间上是“不友好”的.
