华中师大一附中 2024-2025 学年度十月月度检测
湖北武汉 花老师整理
一．选择题（共 8 小题）
1
1．已知集合 A {(x, y) | y | x |}, B (x, y) | y ，则 A B （ ）
| x |
A．{ 1,1} B．{( 1,1), (1,1)} C． (0, ) D．(0,1)
答案：B
y x ,
x 1, x 1,
1 ，解得 ，或 ，所以 A B {( 1,1), (1,1)}
y
y 1 y 1
x
2．已知函数 f (x) (x 2)n ， n N * ，则“ n 1”是“ f (x) 是增函数”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
由 f (x) (x 2)n ，
当 n 3， f (x) (x 2)3是增函数，
当 n 1时，可得 f (x) 是增函数；
当 f (x) 是增函数时， n 1不一定成立，
故“ n 1”是“ f (x) 是增函数”的充分不必要条件．
a
3．函数 f (x) asin x bcos x( 0)图像的一条对称轴为 x ，则 ( )
3 b
3 3
A． 3 B． 3 C． D．
3 3
答案： A
3 1
由于函数 f (x) asin x bcos x( 0)图像的一条对称轴为 x ，故 f ( ) a b a2 b2 ，
3 3 2 2
a
整理得 (a 3b)2 0 ，故 3 ．
b
1 9
4．已知随机变量 ~ N (2, 2 )，且 P( 1) P( a)，则 (0 x a) 的最小值为 ( )
x a x
11 20 16
A．5 B． C． D．
2 3 3
答案：D
根据正态分布的知识得 a 1 2 2 4 a 3，则 0 x 3，3 x 0，
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1 9 1 1 9 1 3 x 9x 1 3 x 9x 16
( )(3 x x) (10 ) (10 2 ) ，
x a x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
3 x 9x 3
当且仅当 ，即 x 时取等．
x 3 x 4
π
5．已知函数 f x sin2x acos2x，将 f x 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于原点对称，则 f x 的图
6
象的对称轴可以为（ ）．
π π
A． x B． x
12 6
π 5π
C． x D． x
3 12
答案：D
π
由题意可得 f x 的图象关于点 , 0 对称，
6
π
即对任意 x R ，有 f x f x 0，
3
π 3 a
取 x 0，可得 f 0 f 0，即a 3．
3 2 2
π
故 f x sin2x 3cos2x 2sin 2x ，
3
π π 5π kπ
令 2x kπ， k Z，可得 f x 的图象的对称轴为 x ， k Z
3 2 12 2
3 3
6．设 a ，b ln2， c sin ，则 ( )
7 7
A．b c a B． a c b C． a b c D．b a c
答案：D
当 0 x 时，令 f (x) x sin x ，求导得 f (x) 1 cos x 0，
2
则函数 f (x) 在 (0, )上单调递增，有 f (x) f (0) 0 ，即有 x sin x ，
2
3 3 1 3
因此 a sin c，显然b ln2 ln e a，
7 7 2 7
所以b a c．
7．已知函数 f (x) 2cos2 x (sin x cos x)2 ( 0) 的图象关于直线 x 轴对称，且 f (x) 在 (0, )上没有最小值，
12 3
则 的值为 ( )
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
答案：C
因为 f (x) 2cos2 x (1 2sin xcos x) cos2 x sin 2 x 2 sin(2 x ) ，
4
因为函数的图象关于直线 x 轴对称，
12
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所以 2 k ， k Z ，
12 4 2
3 k
当 2 x 2k ，即 x ,k Z 时，函数 f (x) 取得最小值，
4 2 8
因为 f (x) 在 (0, )上没有最小值，
3
5 15 3 15 1
所以 ，即 ，由 6k ，解得 k ，
8 3 8 2 8 16
3
故 k 0，得 ．
2
3 1
8．定义在R 上的奇函数 f x ，且对任意实数 x 都有 f x f x 0， f 2024 ．若 f x f x 0，
2 e
1
则不等式 f x 1 的解集是（ ）
ex
A． 3, B． ,3 C． 1, D． ,1
答案：C
因为 f x 是奇函数，可得 f x 是偶函数，
又因为 f x f x 0，所以 f x f x 0，
令 g x ex f x ，可得 g x f x f x e
x 0，所以 g x 在R 上单调递增，
3
因为 f x f x 0且 f x 是奇函数，
2
3 3 3 3
可得 f x f x f x ，则 f x 3 f [( x) ] f ( x) f x ，
2 2 2 2
所以 f x 的周期为3的周期函数，
1 2 1
因为 f 2024 f 674 3 2 f 2 ，所以 g 2 e e，
e e
1 x 1
则不等式 f x 1 ，即为e f x 1 e，即 g x 1 g 2 ，
ex
又因为 g x 在R 上单调递增，所以 x 1 2，解得 x 1，
1
所以不等式 f x 1 的解集为 1, ．故选：C．
ex
二．多选题（共 3 小题）
9．下列等式成立的是 ( )
1
A． 2 2
2
(sin15 cos15 )2 B． sin 22.5 cos 22.5
2 2
1 3
C． cos28 cos32 cos62 cos58 D． (tan10 3)cos50
2 2
答案：AB
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1
对于 A : (sin15 cos15 )2 1 2sin15 cos15 1 sin30 ，故 A 成立；
2
2
对于 B : sin2 22.5 cos2 22.5 cos45 ，故 B 成立；
2
1
对于C : cos28 cos32 cos62 cos58 cos28 cos32 sin 28 sin32 cos(28 32 ) cos60 ，故C 不成立；
2
sin10 3 cos10 2sin50 cos50 sin100 cos10
对于 D : (tan10 3)cos50 cos50 1，故D 不成立．
cos10 cos10 cos10 cos10
2
10．已知抛物线C : y 2px p 0 ，过C 的焦点 F 作直线 l : x ty 1，若C 与 l 交于 A, B两点，AF 2FB ，则下列
结论正确的有（ ）
5
A． p 2 B． AF 3 C． t 2 2 或 2 2 D．线段 AB 中点的横坐标为
4
答案：ABD
2
抛物线C : y 2px p 0 的焦点F 在 x 轴上，
p
过 F 作直线 l : x ty 1，可知 (1,0)，则 1，得 p 2 ，A 选项正确；
2
抛物线方程为 y2 4x，直线 l 的方程代入抛物线方程，得 y2 4ty 4 0 .
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，由韦达定理有 y y y 41 y2 4t ， 1 2 ，
AF 2FB ，得 y1 2y2 ，解得 y y 2 2, y 2 1 2 2, y2 2 或 1 2 ，
y1 y2 2 2t ，则 t 或 t ，C 选项错误；
4 4 4
1
1 2
则 x x x 51 2, x2 ，线段 AB 中点的横坐标为 1 2 2 ，D 选项正确；
2
2 2 4
1 9 2 2 9
AB x1 x2 p 2 2 ， AF AB 3，B 选项正确.
2 2 3 3 2
11．已知P x0 , y0 是曲线C : x
3 y3 y x上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．曲线C 的图象关于原点对称
B．对任意 x0 R ，直线 x x0与曲线C 有唯一交点 P
1
C．对任意 y0 1,1 ，恒有 x0
2
π
D．曲线C 在 1 y 1的部分与 y 轴围成图形的面积小于
4
答案：ACD
A．对于 x3 y3 y x ，将 x ， y 替换为 x ， y，所得等式与原来等价，故 A 正确；
B．取 x 0，可以求得 y 0 ， y 1， y 1均可，故 B 错误；
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3 3
C．由 x0 x0 y0 y0 ， y0 1,1 ，函数 y x x
3，故 y 1 3x2 ，
3 3 3
令 y 1 3x2 0，解得： x ，在 x 1, ， ,1 时， y 0，函数单调递减， 1
3 3 3
3 3 2 3 2 3
x 3在 , 时， y 0，函数单调递增，所以 y0 y0 , ，
3 3
9 9
1 5 2 3 1
又因为 f x x3 x 是增函数， f ，所以有 x0 ，故 C 正确；
2 8 9 2
D．当 y0 0,1
3 3 3 2
时， x0 x0 y0 y0 0，又 x0 x0 2x0 ，
y y30 0 2y
2 2 2
0 2y0 ，所以 x0 y0 y0 ．
曲线 x2 y y2与 y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，
π
则曲线C 与 y 轴围成图形的面积小于 ，故 D 正确．
4
三．填空题（共 3 小题）
21
12．（改）已知 a (0, ) ， cos(a ) ，则 cos 2a ．
2 3 7
11
答案：
14
5
(0, ) ( , )
2 3 3 6
21 2 7
cos( ) sin( )
3 7 3 7
21
cos( ) cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin
3 3 3 3 3 3 14
11 11
cos2 2cos2 1 故答案为：
14 14
13．（改）海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮北偏东 75 ，距离为3 6 海里处；在 A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30 ，
距离为 2 3 海里处；货轮由 A 处向正北航行到 D 处时看灯塔 B 在东偏南 30 ，则灯塔 C 与 D 处之间的距离为
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海里．
答案： 2 3
在 ABD 中， DAB 75 , ADB 60 , AB 3 6 ，则 ABD 45 ，
AD AB AD 3 6
由正弦定理得 ， ，
sin ABD sin ADB sin 45 sin 60
3 2
得 AD 3 6 ，得 AD 6 ，
2 2
在 ACD中， AD 6 ， AC 2 3, CAD 30 ，
3
则由余弦定理得CD2 AC2 AD2 2AC ADcos CAD 12 36 2 2 3 6 12 ， 所以CD 2 3 ．
2
14．若存在实数m ，使得对于任意的 x [a ， b]，不等式m2 sin xcos x 2sin(x ) m恒成立，则b a 取得最大
4
a b
值时， | sin | ．
2
2
答案：
2
2 因为m sin xcos x 2sin(x ) m恒成立，
4
即m2
2sin(x ) m sin xcos x 0恒成立，
4
若存在实数m ，使得上式成立，则 4sin2 (x ) 4sin xcos x 0 ，
4
则 2 2cos(2x ) 2sin 2x 2 2sin 2x 2sin 2x 2 4sin 2x 0 ，
2
1 7
可得 sin 2x ，可得 2k 2x 2k ,k Z ，
2 6 6
7
解得 k x k ,k Z ，
12 12
7
由 [a,b] [k ,k ],(k Z )，
12 12
7
则 b a取得最大值时 a k ,b k , (k Z )，
12 12
7
k k
a b 2
此时 | sin | | sin 12 12 | , (k Z )．
2 2 2
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四．解答题（共 5 小题）
15．已知函数 f (x) 4sin xcos(x ) ， x R ．
6
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调减区间；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在 [0, ]上的最大值与最小值．
2
答案：（Ⅰ）由题意：函数 f (x) 4sin xcos(x ) ， x R ；
6
3 1
化简可得： 2f (x) 4sin xcos(x ) 4sin x( cos x sin x) 2 3 sin xcos x 2sin x
6 2 2
3 1
3sin 2x cos 2x 1 2( sin 2x cos2x) 1 2sin(2x ) 1．
2 2 6
3 2
根据正弦函数的图象和性质：可得 2k 2x 2k ,k Z ，是单调递减，∴ k x k ，
2 6 2 6 3
2
所以函数 f (x) 的单调减区间为[k ,k ],k Z ．
6 3
7 1
（Ⅱ）因为 0 x ，所以 2x ，故得 sin(2x ) 1，于是 1 2sin(2x ) 2，所以 2 f (x) 1．
2 6 6 6 2 6 6
当且仅当 x 时 f (x) 取最小值 f (x)min f ( ) 2 ；
2 2
当且仅当 2x ，即 x 时最大值 f (x) f ( ) 1． max
6 2 6 6
故得函数 f (x) 在 [0, ]上的最大值是 1，最小值为 2 ．
2
2
16．已知b 0 ，函数 f (x) x x (x 1)ln(bx) 在点 (1， f （1） ) 处的切线过点 (0, 1) ．
（1）求实数b 的值；
（2）证明： f (x) 在 (0, )上单调递增；
（3）若对 x 1， f (x) a(x 1) 恒成立，求实数 a的取值范围．
1
答案：（1） f (x) 的定义域为 (0, ), f (x) 2x ln(bx) 2 ，
x
故 f （1） 1 lnb，又 f （1） 0 ，
f (x)在点 (1， f （1） )处的切线方程为 y (1 lnb)(x 1) ，
将点 (0, 1) 代入得1 lnb 1，解得b 1．
1
（2）证明：由（1）知 f (x) x2 x (x 1)lnx ，则 f (x) 2x lnx 2，
x
1 1 1 (x 1)(2x 1)
令 g(x) f (x) 2x lnx 2 ，则 g (x) 2 ，
x x2 x x2
当 0 x 1时， g (x) 0 ， g(x) 单调递减；当 x 1时， g (x) 0 ， g(x) 单调递增，
x 1时，函数 g(x) 即 f (x) 取得极小值即最小值，
f (x) f （1） 1 0，
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f (x)在 (0, )上单调递增．
（3）对 x 1， f (x) a(x 1) 恒成立，即对 x 1， x(x 1) (x 1)lnx a(x 1) 恒成立，
当 x 1时，上式显然恒成立；
当 x 1时，上式转化为 x lnx a 恒成立，
1 x 1
设 h(x) x lnx(x 1)，则 h (x) 1 0，
x x
h(x)在 (1, )上单调递增；
h(x) h（1） 1，
故 a 1，因此实数 a的取值范围为 ( ，1]．
17．在△ ABC 中，设内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c ．
（1）若 b a 2， c a 4，是否存在正整数 a，使得 a N * ，且△ ABC 为钝角三角形？若存在，求出 a；若不
存在，说明理由．
（2）若 a b c 4，D 为 BC 的中点，E ，F 分别在线段 AB ，AC 上，且 EDF 90 ， CDF (0 90 ) ，
求△DEF 面积 S 的最小值及此时对应的 的值．
答案：（1）假设存在正整数 a满足题设，
由 b a 2， c a 4，可得 a b c，所以C 为钝角，
a2 b2 c2 a2 (a 2)2 (a 4)2
由 1 cosC 0，
2ab 2a(a 2)
得 a2 4a 12 0，解得 2 a 6，
因为 a N * , a N * ，所以 a 1或 a 4，
当 a 1时，△ ABC 不存在，
故存在 a 4满足题设；
（2）如图，因为 EDF 90 ， CDF (0 90 ) ，所以 BDE 90 ，
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DF 2 3
在△CDF 中，因为 ，所以DF ，
sin 60 sin( 60 ) sin( 60 )
DE 2 3
在△ BDE 中，因为 ，所以 DE ，
sin 60 sin(150 ) sin(150 )
1 1 3
所以 S DF DE
2 2 sin( 60 )sin(150 )
1 3
2 1 3 1 3
( sin cos )( cos cos )
2 2 2 2
1 3 6
12 6 3 ，
2 3 3 2sin 2
sin cos
4
当且仅当 sin 2 1，即 45 时， S 取得最小值12 6 3 ．
x2 y2 2
18．已知椭圆 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F ， F ，离心率 e ，点 P1 2 ，Q 分别是椭圆的右顶点和上
a2 b2 2
3
顶点，△ POQ 的边 PQ上的中线长为 ．
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 H ( 2,0)的直线交椭圆C 于 A ， B 两点，若 AF1 BF ，求直线 AB1 的方程；
1
（3）直线 l1 ， l2 过右焦点 F2 ，且它们的斜率乘积为 ，设 l1 ， l2 分别与椭圆交于点C ，D 和 E ，F ．若M ， N
2
分别是线段CD和 EF 的中点，求△OMN 面积的最大值．
答案：（1）由题意，因为 P(a,0) ，Q(0,b) ，△ POQ 为直角三角形，所以 | PQ | a2 b2 3 ．
2
c 2 x
又 2e ,a2 b2 c2 ，所以 a 2,b 1,c 1，所以椭圆的标准方程为 y 1．
a 2 2
（2）由（1）知， F1( 1,0)，显然直线 AB 的斜率存在，
设直线 AB 的方程为 y k(x 2)(k 0) ， A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2 )，
x2
y2 1
联立 2 2 2 ，消去 y 得， (1 2k )x 8k
2x 8k 2 2 0，
y k(x 2)
2 2 2 2 2 2 1所以△ (8k ) 4(1 2k )(8k 2) 8(1 2k ) 0 ，即0 k ．
2
8k 2 8k 2 2
且 x1 x2 , x1x2 ，
1 2k 2 1 2k 2
因为 AF1 BF1 ，所以 AF1 BF1 0 ，
所以 ( 1 x1 ， y1)( 1 x2 ， y2 ) 0，即1 x1 x2 x1x2 y1y2 0 ，
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所以1 x1 x2 x1x2 k(x1 2) k(x2 2) 0 ，
整理得 (1 2k 2 )(x x 2 21 2 ) (1 k )x1x2 1 4k 0 ，
2
2 8k (1 k
2 )(8k 2 2)
即 (1 2k )( ) 1 4k 2 0，
1 2k 2 1 2k 2
化简得 4k 2
1
1 0，即 k 满足条件，
2
1 1
所以直线 AB 的方程为 y (x 2)或 y (x 2) ，
2 2
即直线 AB 的方程为 x 2y 2 0或 x 2y 2 0 ．
（3）由题意， F2 (1,0)，
设直线 l1 的方程为 y k(x 1) ，C(x3 ， y3 ) ，D(x4 ， y4 )，
1
则直线 l2 的方程为 y (x 1)， E(x5 ， y5 ) ， F (x6 ， y6 )，
2k
x2 2
y 1
联立 消去 得 (1 2k 2 )x2 4k 2 2 y x 2k
2 2 0，
y k(x 1)
4k 2 2k 2 2
所以 x3 x4 , x3x4 ，
1 2k 2 1 2k 2
x3 x4 2k
2
k
所以 xM ， y k(x 1) ， 2 M M2 1 2k 1 2k 2
2k 2 k
所以M ( , )，
1 2k 2 1 2k 2
x2 2
y 1
同理联立 2 ，消去 y 得 (1 2k
2 )x2 2x 1 4k 2 0 ，
1y (x 1)
2k
2 1 4k 2
所以 x5 x6 , x5x6 ，
1 2k 2 1 2k 2
x5 x所以 x 6
1 1 k
， ，
N yN (xN 1)
2 1 2k 2 2k 1 2k 2
1 k 1
所以 N( , )，即MN 的中点T ( ,0)．
1 2k 2 1 2k 2 2
1 1 2k 1 | k | 1 1 2
所以 S OMN | OT || yM yN | | | ，
2 4 1 2k 2 2 1 2k 2 2 1 8
2 | k |
| k |
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1 2
当且仅当 2 | k | ，即 k 时取等号，
| k | 2
2
所以△OMN 的面积最大值为 ．
8
19．正整数集 A {m 1， m 2 ，m 3， ，m 3n}，其中m N ，n N ．将集合 A 拆分成 n个三元子集，这 n
个集合两两没有公共元素．若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合 A 是“三
元可拆集”．
（1）若m 1， n 3，判断集合 A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
（2）若m 0， n 6 ，证明：集合 A 不是“三元可拆集”；
（3）若 n 16，是否存在m 使得集合 A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，
请说明理由．
答案：（1）是， A {2，3，4， ，10}，
可拆成{10 ，7，3}、{9 ，5， 4}、{8，6， 2}或{10 ，6， 4}、{9 ，7， 2}、{8，5，3}；
（2）证明：对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，
则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；
又因为 A {1，2，3，4， ，18}，
19 18
所以 A 中所有元素和为1 2 3 4 18 171，与和为偶数矛盾，
2
所以集合 A 不是“三元可拆集”；
（3）存在，理由如下：
A {m 1，m 2 ，m 3， ，m 48}有 48 个元素，可以拆成 16 个三元子集，
将这 16 个三元子集中的最大的数依次记为 a1， a2 ， a3 ， ， a16 ，
则 a1 a2 a3 a16 (m 48) (m 47) (m 46) (m 33)
(m 48 m 33) 16 (2m 81) 16
16m 648；
2 2
(m 1 m 48) 48 (2m 49) 48
另一方面， A 中所有元素和为 48m 1176 ，
2 2
48m2 1176
所以 a1 a2 a3 a16 24m 588 ，
2
15
所以 24m 588 16m 648 ，解得m ，
2
又m N ，所以m 7 ；
当m 7时， A {8，9，10， ， 55}，
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故可拆为{55 ，40，15}、{54 ，38，16}、
{53，39，14}、{52 ，35，17}、{51，31， 20}、{50 ，37，13}、{49 ，25， 24}、{48 ，26， 22}、
{47 ，29，18}、{46 ，27，19}、{45 ，34，11}、{44 ，23， 21}、{43 ，33，10}、{42 ，30，12}、
{41，32，9}，{36 ，28，8}（拆法不唯一）；
综上所述，m 的最大值是 7．
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