福州第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县 区） 学校 班级 姓名 考场号 座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题（共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置上，
1.若直线的倾斜角为，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
2.某市政府工作小组调查市民收入增减与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取市民3000人，经过计算发现，则根据这一数据查阅下表，该市政府工作小组可断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握大小是（ ）
0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005
1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879
A. B. C. D.
3.在四棱锥中，若，则实数组可能为（ ）
A. B. C. D.
4.是等差数列的前项和，若，则（ ）
A.43 B.44 C.45 D.46
5.已知函数，则“”是“为的极小值点”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知为双曲线的左焦点，A是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点A，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.为了解推动出口后的亩收入情况，从某种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（参考：若随机变量服从正态分布）
A. B.
C. D.
10.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与该抛物线相交于，两点（其中），则下面说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
11.设函数，则下面说法正确的是（ ）
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在，使得为曲线的对称轴
D.存在，使得点为曲线的对称中心
第II卷非选择题（共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在二项式的展开式中的系数为__________.
13.已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线.则的值是__________.
14.舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内做往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.若，则的最小值为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15，（本小题满分13分）
已知各项均为正数的等差数列前项和为，，；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16.（本小题满分15分）
已知四棱锥为的中点，平面，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求.
17.（本小题满分15分）
古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长 短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，离心率等于，面积为.
（1）求的标准方程；
（2）若，过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
18.（本小题满分17分）
放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往地的航班放行准点率.
（2）已知2023年该机场飞往地 地和其他地区的航班比例分别为0.2 0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含 两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地 地 其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
（2）参考数据：，，.
19.（本小题满分17分）
已知函数，且在上的最小值为0.
（1）求实数的取值范围；
（2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.
（i）求证：函数在上具有性质；
（ii）记，其中，求证：.
数学答案
一 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C D C A A
题号 7 8 9 10 11
答案 B D BC ABD AD
二 填空题：
12. 13.3 14.
三 解答题：
15，（1）设等差数列的公差为，
因为，，
所以，
即，
所以，化简得，
解得或（舍去），
所以，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以，
所以
，
所以.
16.（1）证明：且为的中点，
，
平面平面，
又且平面平面，
平面，
与共面，，
又平面平面，
平面.
（2）
法1：如图，作交于，连接.
由得，
，
，且，
是二面角的平面角，
，又，
，
在中，，由，解得，
.
方法2：如图，以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系.则，
设，则，
，
设面的法向量为，
由，令，可得
设面的法向量为，由，令，可得.
设二面角的大小为，则，
.
17.（1）设椭圆的方程为，由，得.
由，得.则，
解得，所以.
椭圆的方程为.
（2）由知不共线，直线过点，
则直线斜率存在，设直线方程为，
代入椭圆方程，得.
由，得.
设，则.
因点坐标为，所以
，令，则.
，
当且仅当，即时，面积的最大值为6.
18.（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
令，先建立y关于t的线性回归方程.
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为.
（2）设“该航班飞往地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，
则，，，
，，.
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii），
，
，
因为，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
19.（1），，，
，，令
，等号不同时取，
所以当时，，在上单调递增，
①若，即，，在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意.
②若，即，此时，
，
又函数在的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）（i）由（1）可知，当时，.
要证函数在上具有性质.
即证：当时，.
即证：当时，.
令，，则，
即，，，
所以在上单调递增，.
即当时，，得证.
（2）法一：由（1）得，当时，，
所以当时，.
下面先证明两个不等式：①，其中；②，其中.
①令，，则，在上单调递增，所以，即当时，.
②令，，则，
所以在上单调递增，故，
即当时，，故，得.
据不等式②可知，当时，，
所以当时，.
结合不等式①可得，当时，
.
所以当时，
当，时，，有.
所以.
又，
所以
法二：要证：.
显然，当时，，结论成立.
只要证：当，时，.
即证：当，时，.
令，.
所以，，
所以，在上单调递减，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，即当时，.
所以当，时，，有，
所以当，时，.
所以.
