2024-2025学年第一学期广东省深圳市九年级数学期中复习试卷（解析版）
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．
2．如果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合比性质求解即可.
【详解】解：由，
，
故选：
在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，
通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，
根据概率公式即可求出黑球的个数．
【详解】解：设黑球可能有个
∵摸到白球的频率稳定在25%附近
∴口袋中摸到白球的概率为25%
∴
∴
经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.
∴黑球可能有11个
故选：B．
若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．－4
【答案】A
【分析】设另一根为 结合是方程的一个根，
由根与系数的关系可得：从而可得答案．
【详解】解： 是方程的一个根，设另一根为
即方程的另一个根是
故选：
5 . 若点、、都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
，
∴点位于第三象限，
，
，
∴点、位于第一象限，
．
．
故选：A．
如图，树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，
树与路灯的水平距离，则路灯的高度是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变,
∵当树高，树影，且
∴ ，代入得：
∴
故选：C．
反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象的综合．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一，三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项B符合；
当时，，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项．
故选：B．
经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，
那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查树状图法或列表法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
根据题意可画出树状图，得到等可能的情况有9种，
其中第一辆向左转，第二辆向右转的情况有1种，最后根据概率公式计算可得．
【详解】根据题意画出树状图如图所示，
由图可知这两辆汽车行驶方向共有9种等可能的情况，
其中第一辆向左转，第二辆向右转的情况有1种，
∴第一辆向左转，第二辆向右转的概率为．
故选B．
9 . 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
10 . 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，
边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论
①；②；③；④，
你认为其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①由，可知；②根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到；③由②相似知：，进而可得则，则平分，即可得；④由，可证，根据对应边成比例，再结合等腰直角三角形和正方形的性质即可证明结论．
【详解】解：①∵正方形和正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，则
∴；
∴①正确，符合题意；
②∵是等腰直角三角形，则，
∴，
都是等腰直角三角形，同理可得
∴，
又∵，
∴，
∴②正确，符合题意；
③∵，
∴，则，
∴平分
∴；
∴③正确，符合题意；
④∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴④正确，符合题意；
故选：D．
填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
11．四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为 ．
【答案】4cm
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，分类讨论，即可求得b的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：4cm
12．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数关系定理，设方程的另一个根为n，根据题意，得，解得，解答即可．
【详解】设方程的另一个根为n，根据题意，得，
解得，
故答案为：．
13．投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是
【答案】
【分析】画树状图可得共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，
∴两枚硬币恰好是一正一反的概率是，
故答案为：．
如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．
若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线和仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．
【详解】解：，
，
，
，，，
，
，则窗户的高度为，
故答案为：．
如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C.
，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的值是解题的关键．
由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值．
【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限，
∴，，
∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：．
三、解答题：本大题共7个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（ 1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（ 2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）
所以；
（2）
或
所以
17.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
解：（1）如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子；
（2）由已知可得，
＝，
∴＝，
∴OD＝4m．
∴灯泡的高为4m．
18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，
与是关于点P为位似中心的位似图形．
在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
(2) 以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，
使它与的位似比为2：1；
(3) 的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】
（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心，根据图形写出坐标即可；
（2）连接、并延长，使、，连接即可；
（3）根据位似比，求出点的坐标即可．
【详解】（1）
解：（1）如图，点P为所作；
故答案为：；
（2）如图，为所作；
（3）点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
19 .我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，
为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择一种）．
根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
本次被调查的学生有_______名，补全条形统计图；
扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是_______；
学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，
请用列表法或面树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
【答案】(1)本次被调查的学生人数为名；补全条形统计图见解析；
(2)；
(3)甲和乙同学同时被选中的概率为．
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键，理解条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数；用总人数乘以足球所占百分比，即可求出足球的人数，从而补全统计图；
（）用排球的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数的值；
（）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）本次被调查的学生人数为（名），
选择“足球”的人数为（名），补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是：
（3）画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种，
∴（甲和乙同学同时被选中） ，
答：甲和乙同学同时被选中的概率为．
20．某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．
(1) 商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，
最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；
经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，
当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．
若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？
【答案】(1)；
(2)元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据续两次降价后以每台元售卖列式求解即可得到答案；
（2）设每台冰箱的售价应定为m元，根据利润列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
答：每次降价的百分率是；
（2）解：设每台冰箱的售价应定为m元，由题意可得，
，
解得：，
答：每台冰箱的售价应定为元．
21．如图1，点A(0，8)、点B(2，a)在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B．
(1) 求a和k的值；
(2) 将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC、BD．
① 如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；
② 在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值.
【答案】(1)a＝4，k=8；(2)①E(5，)；②满足条件的m的值为4或5或2.
【分析】(1)把点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中求出k；
(2)①确定出点D(5，4)，得到求出点E坐标；
②先表示出点C，D坐标，再分三种情况：当BC＝CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论，当BC＝BD时，表示出BC，用BC＝BD建立方程求解即可得出结论，当BD＝AB时，m＝AB，根据勾股定理计算即可.
【详解】解：(1)∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B(2，a)代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，
∴B(2，4)，
将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；
(2)①由(1)知，B(2，4)，k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，
当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D(2+3，4)，即D(5，4)，
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E(5，)；
②如图，
∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A(0，8)，B(2，4)，
∴C(m，8)，D((m+2，4)，
△BCD是等腰三形，
当BC＝CD时，BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
当BC＝BD时，B(2，4)，C(m，8)，
∴，
∴，
∴m＝5，
当BD＝AB时，，
综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2.
22．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．
（1） ①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），
如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，
如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，
求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．
【答案】（1）；（2）AG＝BE；（3）正方形CEGF的边长为3，正方形ABCD的边长为3．
【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合得∠BCD＝90°，
可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得证；
②由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，
据此可得＝、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；
（3）证△AHG∽△CHA得＝，
设BC＝CD＝AD＝a，知AC＝a，则由，得，
计算AH＝，代入可得：a＝3，可得结论．
【详解】解：（1）①如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，
∴＝，GE∥AB，
∴＝，
故答案为：；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，＝cos45°＝，
∴＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，
∵∠CHA＝∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴＝，
设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，
则由，得
∴AH＝，
则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝＝，
∴得＝，
解得：a＝3，即BC＝3，CH＝×＝5，
∴CG＝CH﹣GH＝5﹣2＝3，
∵四边形CEGF是正方形，
∴CF＝3，
综上，正方形CEGF的边长为3，正方形ABCD的边长为3．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年第一学期广东省深圳市九年级数学期中复习试卷
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
2． 如果，则（ ）
A． B． C． D．
在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，
通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．
A．10 B．11 C．12 D．13
若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．－4
5 . 若点、、都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
如图，树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，
树与路灯的水平距离，则路灯的高度是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，
那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
10 . 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，
边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论
①；②；③；④，
你认为其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
11．四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为 ．
12．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根为 ．
13．投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是
如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．
若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ．
如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C.
，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．解下列方程
(1)
(2)
17. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，
与是关于点P为位似中心的位似图形．
在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
(2) 以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，
使它与的位似比为2：1；
(3) 的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
19 .我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，
为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择一种）．
根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
本次被调查的学生有_______名，补全条形统计图；
扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是_______；
学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，
请用列表法或面树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
20．某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．
(1) 商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，
最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；
经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，
当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．
若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？
21．如图1，点A(0，8)、点B(2，a)在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B．
(1) 求a和k的值；
(2) 将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC、BD．
① 如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；
② 在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值.
如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．
（1） ①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），
如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，
如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，
求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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