第22章二次函数检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（ ）
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点
2．二次函数 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．1
3．已知二次函数，当自变量取、时，对应的函数值、，则、满足（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．抛物线交轴正半轴于A、B两点，交轴于C点，，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．5
7．如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
8．当，函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若抛物线的顶点在x轴上，则
10．要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ．
11．若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是 ．
12．抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ．
13．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
14．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米．
15．已知二次函数的图像经过原点，与x轴的一个交点为点A，抛物线的顶点为点B，则的面积为 ．
16．如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为 ．
三、解答题
17．已知二次函数的图象为抛物线C．
(1)抛物线C的顶点坐标为___________．
(2)当时，求y的取值范围；
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点和点．
(1)若抛物线还经过点，求此时抛物线的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标；
(2)已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请直接写出的取值范围．
19．已知二次函数的顶点坐标是．
(1)当时，求该二次函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，当时，求该二次函数的最大值
20．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克．
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
(3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．
21．如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标；
(3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A A B B B A
1．C
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：对于抛物线，
当时，即，
∵
∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点式形式与最值的关系是解题的关键．
先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】
．，
抛物线开口方向向上，其顶点坐标为
抛物线有最低点，
该二次函数有最小值，最小值为2，
故选：B．
3．A
【分析】此题考查了抛物线与轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与轴无交点．
根据函数的解析式求得函数与轴无交点，利用二次函数开口向上，进而确定函数值为、．
【详解】解：令，
则，故方程无解，即二次函数与轴无交点，
∵，二次函数开口向上，
故当自变量取、时，对应的函数值、，
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意画出图形，设的长为m，由含30度的直角三角形的性质可得出，，，，把A，C两点代入上求解再化解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形，设的长为m，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵A，C都在抛物线上，
∴
解得：
①②得：
，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，由于抛物线所经过的M，N两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则是方程的两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于2，列出a的不等式求得a的取值范围，再结合方程根的判别式与解得情况的关系式求得a的取值范围，便可得出最后结果．
【详解】令，得
化简得
∵二次函数（是常数，且）的图象过点，
∴，
∴；
∵
∴，，
∴
即；
∵的长不小于2
∴
，
∴．
故选：B．
6．B
【分析】把点代入解析式得即，解答即可．
本题考查了抛物线过点，求代数式的值，熟练掌握图象过点的意义是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】此题考查的是求二次函数图像与轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图像的对称性和二次函数与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．
依据题意，根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线，又图像与轴的一个交点坐标为，结合对称性可得图像与x轴的另一个交点坐标为，即，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线，
又图像与轴的一个交点坐标为，
∴图像与轴的另一个交点坐标为，即．
∴关于的一元二次方程的解为，．
故选：B．
8．A
【分析】根据，可知，或，，然后进行分类讨论函数的图象所在的位置，即可解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
【详解】解：，
，或，，
当，时，的函数图象的开口向上，顶点在原点，的图象经过第一、三、四象限，故选项A正确；
当，时，的函数图象的开口向下，顶点在原点，的图象经过第一、二、四象限，此时无选项符合；
故选：A．
9．
【分析】本题考查了抛物线的顶点位置求参数的问题，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式．
先表示出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在轴上得到，求出b的值即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的顶点在x轴上，，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：，
把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为，
∴，，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与轴的交点之间的关系是解答此题的关键．
先根据关于的一元二次方程的一根，另一根求出的取值范围，再得出抛物线顶点的纵坐标表达式，把的取值代入即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一根，另一根，
令
则，
即，
解得，．
∵抛物线的顶点纵坐标为，
当时，；
当a时，，
∵，
∴顶点到x轴距离的最小值是．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用顶点式设，再根据抛物线与 的图象开口大小相同得，代入即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：设这条抛物线解析式为，
∵抛物线与 的图象开口大小相同，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．
【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴，解得．
故答案为：．
14．8
【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．
【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为，
由题意可得，
代入函数关系式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
可设，
代入抛物线的解析式，得：，
∴，
∴，
∴，
∴最低水位与最高水位之间的距离为8米．
故答案为：8
15．1
【分析】将代入解析式，求出的值，得到二次函数解析式，求出的坐标和的坐标，进而求出的面积．此题考查了求抛物线与轴的交点坐标、待定系数法求函数解析式、顶点坐标的求法等知识，有一定难度．
【详解】解：将代入解析式得，
，
故函数解析式为：，
令，得，
解得，．
∴，，
∵，
∴顶点坐标为．
．
故答案为：1．
16．
【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得，，由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴，由得，即可求解；掌握菱形的性质和二次函数的性质，由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键．
【详解】解：如图，连接交于，
当时，，
，
四边形是菱形，
，
，
轴，
轴，
，
，
直线是抛物线的对称轴，
抛物线
，
，
，
，
解得：；
故答案：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质；
（1）将二次函数化成顶点式，即可求解；
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，可得，，由开口方向向上时，距离对称轴越大的点对应的函数值越大，即可求解
【详解】（1）解：
顶点，
故答案为：；
（2）解：由（1）得抛物线的对称轴为直线，
，
，
∵，且
则开口向上，越远离对称轴的所对应的值越大
，
18．(1)；
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合进行分析是解题的关键．
（1）根据题意设抛物线的解析式为，再代入点，即可得到解析式，最后化成顶点式即可得到顶点坐标．
（2）当时，，当时，，抛物线与线段恰有一个公共点时，当， ；当，，从而解得答案．
【详解】（1）解：抛物线经过原点和点
设抛物线的解析式为：
又抛物线经过
解得：
即抛物线的解析式为：
即该抛物线的顶点坐标为
（2）解：同（1）设抛物线的解析式为：，即
该抛物线的顶点坐标为，对称轴为，当时，
点，
则当，抛物线与线段恰有一个公共点时，如图
当抛物线与线段的交点为点时，，解得
当抛物线与线段的交点在和之间时，，解得
即当时，
同理，当，抛物线与线段恰有一个公共点时，如图
抛物线与线段的交点为时，，解得
当抛物线与线段的交点在和之间时，，得
即当时，
综上所述，的取值范围为或．
故答案为：或．
19．(1)
(2)7
【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据对称轴公式求解即可；
（2）根据函数的增减性求解
【详解】（1）解：根据题意可得，二次函数的顶点坐标是．
∴对称轴，
∵
∴，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：如图，∵二次函数的表达式为，
∴当时，y的值随x值得增大而增大，
∵，
∴当时，y的值随x值得增大而增大，
∴当时，二次函数有最大值，
解得．
20．(1)
(2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元
(3)厂家每天获得的最大利润为元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键．
（1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可；
（2）设厂家每天获得的利润为y元，则，根据每天的产量不大于市场需求量时，求出x的取值解答即可；
（3）根据每天的产量大于市场需求量时，求出x的取值解答即可．
【详解】（1）设q与x的函数关系式为，由题意，得
∴
∴q与x的函数关系式为；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，得，
即，
解不等式得，
∵，
∴；
设厂家每天获得的利润为y元，
∵，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，
，
答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元；
（3）当每天的产量大于市场需求时，，
∴，
解不等式得，
∴，
设厂家每天获得的利润为y元，
，
，
，
，，
∵，对称轴为，
∴当时，
，
∵，
∴厂家每天获得的最大利润为元．
21．(1)
(2)D的坐标为：
(3)存在，点F的坐标为：或或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，即可求解；
（3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，
理由：为最小，
对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：；
（3）存在，理由：
令，则，
解得或，
∴点，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，
由点A、C、F的坐标得，，
同理可得：，
当时，
则，
解得：（舍去）或2，
即点；
当或时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或或；
综上，点F的坐标为：或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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