2024-2025学年江西省上进联考高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的非空真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知，为正数，若，有函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的两个零点分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
11.若存在实数使得方程有四个不等的实根，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为______．
13.已知函数，则 ______．
14.函数在区间上的零点个数为______个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
当时，求的最值．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的最值．
18.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，且．
求的取值范围；
若为锐角三角形，设，，探究是否存在，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：设函数的图象上一点处的切线为，在处的垂线也与的图象相切于另一点，则称和为的一组“垂切线”，为“垂切点”．
已知三次函数，和为的一组“垂切线”，其中为的垂切点，与相切于点．
求曲线在点处的切线方程；用和表示
若对任意都存在，使，求正数的取值范围；
证明：点和之间连线段的长度不小于．
参考公式：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数．
令，得，
所以函数的单调递增区间是；
令，则由可得，
所以当，即时，，
当时，即时，．
即当时，函数取最小值；时，函数取最大值．
16.解：当时，，或，
，
；
“”是““的充分不必要条件，
是的真子集．
，则，
，解得：，
的取值范围是．
17.解：，，
，
，
从而曲线在点处的切线方程为；
设，显然，同号，
则，
在上单调递减，
注意到，
当时，，在单调递增；
当时，，在上单调递减，
当时，，当时，，
的最大值为，无最小值．
18.解：根据余弦定理，，
根据基本不等式，，解得，当取等号，
此时，
结合，可得，
则的取值范围为；
以为轴，中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，
由题意定值，且，
根据椭圆的定义可知，的轨迹是以，为焦点的椭圆不共线，
则椭圆的，方程为，
设，根据，则，
则，故；
设，根据，则，
则，故，
于是，
结合在椭圆上，，
可得，
要想乘积为定值，则，结合，解得，
此时．
19.解：因为，
所以，，
所以曲线在点处的切线的斜率为，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得；
由已知曲线在点处的切线与直线垂直，
又曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
所以，
，，
所以，
又，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
因为关于的方程有解，所以其判别式，
故，即，
因为对任意都存在使，
所以函数，的值域包合区间
所以，
所以的取值范围为；
证明：因为点和之间连线段的长度，
所以，
又，
所以，
由，
所以，
故，
由知，即，
所以，
由已知方程的判别式，
所以，
所以，
令，则，，
设，则，
令，则，
故，
又，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当，即时，取最小值，最小值为，
所以，
所以．
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