2024-2025学年广东省广州市执信中学高三（上）第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A. ， B. ，
C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知向量集合，，则( )
A. B. ， C. D.
5.函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上( )
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值
6.已知点在抛物线：上，过点作圆：的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为( )
A. B. C. D.
7.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流
的没岸曲线上任意一点到的距离比到的距离远现要在曲线上一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、到修建公路的费用分别是万元、万元，那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A. 万元
B. 万元
C. 万元
D. 万元
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.有一组样本数据，，，，，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据( )
A. 极差不变的概率是 B. 第百分位数不变的概率是
C. 平均值变大的概率是 D. 方差变大的概率是
11.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好经过点，则下列命题中正确的是( )
A. 正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半
B. 若往容器内再注升水，则容器恰好能装满
C. 将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点
D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的导函数为，且满足，则 ______．
13.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为 ．
14.对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和是给定的正整数，且，再从每个子总体中各随机抽取个元素组成样本用表示
元素和同时出现在样本中的概率，则 ______；所有的和等于______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，且，．
求的值；
若的面积为，求边上的高．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，与交于点，点在平面内的投影为点，若为正三角形，且，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
求椭圆的离心率；
已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
18.本小题分
已知函数，，．
若，求的极值；
当时，讨论零点个数；
当时，，求实数的取值范围．
19.本小题分
将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
若将，，，四个数构成的数列恰有个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
计算以下数列的逆序数．
；
；
已知数列，，，的逆序数为，求，，，的逆序数．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，
，
由正、余弦定理可得，，
又，
由得，，
，；
由得，，
或由余弦定理得
为锐角，，
的面积，
，
设边上的高为，
则的面积，
，即边上的高为．
16.证明：因为，，，
故，
，，即．
又点在平面内的投影为点，
即平面，
又平面，，
又，，平面，
平面．
由可得平面，而平面，故，
故，，两两垂直，建立以为原点如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则有
令，则，
设直线和平面所成角为，
则，
．
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：设椭圆 的半焦距为 ，由已知得点 ，
因为 为等腰直角三角形，且 为 的中点，所以 ，即 ，
所以 ，有 ．
解：由知 ，设椭圆 方程为 ，
因为切点 在第二象限，且直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，设点 ，
因为直线 与椭圆 相切，联立 可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以， ， ，所以 ，
因为直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，即点 ，
又因为 、 ，
有 ， ，
所以 ，所以椭圆 的方程为 ．
18.解：
当时，，
则，
令，解得，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，
所以有极大值，无极小值；
，
令，得，
因为，所以，，
当时，，
则在上单调递减，
当时，，
则在上单调递增，
所以
，
设，
则，
因为，所以，
所以在单调递减，
又因为，
所以当时，，
则，无零点；
当时，，有个零点，
当时，，
又，
当时，，有个零点；
若，
则，
所以，
因为时，，
所以，
两边同时取对数得，，
当时，成立，
当时，，
则，
设，
则
，
设，
则
，
设，
则
，
设，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以，所以，
则在单调递增，
又，
所以，所以，
则在单调递增，
又，
所以，所以，
则在单调递增，
又当时，，
所以，
所以．
19.解：
由，，，构成的逆序对有，，，，，．
若第一个数为，则至少有个逆序对；
若第二个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为；
若第三个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或；
若第四个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或．
综上，符合条件的数列组合有：
，，，，．
(ⅰ)因为为单调递减数列，
所以逆序数为．
(ⅱ)当为奇数时，
当为偶数时，
，
所以，
当为 奇数时，逆序数为
，
当为偶数时，逆序数为
．
在数列，，，中，若与后面个数构成个逆序对，
则有不构成逆序对，
所以在数列，，，中，逆序数为
．
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