3.2.2 双曲线的简单几何性质——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时优化训练
1.已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为m，离心率为e，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
4.过双曲线（，）的左焦点作x轴的垂线交双曲线于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
5.如图，已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线l与E交于A，B两点，A在第一象限，延长交E于多一点C，若且，则E的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知双曲线，则下列说法正确是( )
A.双曲线C的实轴长为 B.双曲线C的焦距为
C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C的渐近线方程为
8.（多选）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则( )
A.是它的一条对称轴 B.它的离心率为
C.点是它的一个焦点 D.
9.（多选）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A.C的虚轴长为 B.C的离心率为
C.的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于
10.双曲线的实轴长为4，则________.
11.已知双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为______.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为_______________.
13.如图，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，，分别是其渐近线，上的两个点，的面积为9，P是双曲线C上的一点，且.
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求双曲线C的标准方程.
14.已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.
15.已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.
（1）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；
（2）当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段PQ的中点为M点，求的面积的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题可得，，由，且，得，
故C的渐近线方程为.故选：A.
2.答案：D
解析：由双曲线，可得，，所以，，，
所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；虚轴长，故C错误；离心率，故D正确.故选：D.
3.答案：C
解析：由题意得：；
（当且仅当时取等号），当取最小值时，双曲线的离心率为.故选：C.
4.答案：B
解析：依题意可得，是等腰直角三角形，
所以，则，.
根据双曲线的几何定义可得，，所以，则，故选：B
5.答案：A
解析：设E的左焦点为，，连接，，
则，，，
因为，由双曲线的对称性知四边形为矩形.在中，
由，得，化简得.在中，由，得，化简得，即离心率.故选：A.
6.答案：A
解析：设，则，而，所以，所以点P到的距离为，又，所以，
解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，
所以，即，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.
7.答案：BC
解析：双曲线，则，，，双曲线C的实轴长为，故A错误；双曲线C的焦距为，故B正确；双曲线C的离心率，故C正确；双曲线C的渐近线方程为，故D错误.故选：BC.
8.答案：ABD
解析：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，其中一个焦点坐标应为.
9.答案：AD
解析：双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，
对于A，C的虚轴长，A正确；对于B，C的离心率，B错误；
对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；对于D，直线的斜率为，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于，D正确.故选：AD
10.答案：1
解析：显然恒成立，则双曲线E的焦点在x轴上，于是，所以.故答案为：1
11.答案：
解析：双曲线的一条渐近线方程为，即，所以有，故双曲线，所以双曲线的离心率为.故答案为：.
12.答案：
解析：令，则，，，
在中，由余弦定理得，
解得，则，，令，
在中，由余弦定理得，解得，
所以双曲线C的离心率.故答案为：.
13.答案：（1）
（2）
解析：（1）设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，
所以，解得，所以，所以双曲线C的渐近线方程为；
（2）设，，
则，所以，
设，则，
因为，
所以，所以，
所以，
由（1）得，则双曲线的方程为，
再将点代入得，
化简得，即，所以双曲线的标准方程为.
14.答案：（1）
（2）3
解析：（1）椭圆的焦点坐标为，
设双曲线的方程为，，所以双曲线的半焦距.又由，得，所以，所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
，，解得
（2）由（1）可知，，，双曲线E的方程为
设，，过点A的直线方程为
由可得
，
由，解得
故
