甘肃省甘谷六中2024—2025学年度第一学期高三第二次质量检测
数学试卷
2024.10
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本试卷命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
4．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启．火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：dB）与声强（单位：）满足．若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A．130dB B．140dB C．150dB D．160dB
5．函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设，，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线与是曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C．4 D．无法确定
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是的导函数，且，则（ ）
A．
B．
C．的图象在处的切线的斜率为0
D．在上的最小值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．“万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件
B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件
C．方程有唯一解的充要条件是
D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是_________．
13．已知函数是偶函数，则_________．
14．已知实数，满足，，则_________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）
已知集合，，且．
（1）若都有，求的取值范围；
（2）若且，求的取值范围．
16．（15分）已知函数在时取得极大值4．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间上的最值．
17．（15分）
已知函数（且）．
（1）若，求的值域；
（2）若，在上单调递增，求的取值范围．
18．（17分）
已知为偶函数，为奇函数，且满足．
（1）求，；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
19．（17分）
已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
甘肃省甘谷六中2024—2025学年度第一学期高三第二次质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 依题意，．
2．B 等价于解得．
3．A 由文物的形状知，两头细中间粗，在注水过程中，以恒定的流速向其内注水，前段部分注水高度逐渐递增，但增长速度逐步变慢，当超过中间部分，注水高中继续递增，但增长速度逐步变快，对应图象A满足条件．
4．B 设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，则，解得：，则火箭发射时的声强为，将其代入中，得：，故火箭发射时的声强级约为140dB．
5．C 令，则，由题意可得需满足在区间上单调递减，且，而的图象开口向下，对称轴为，故且，即．
6．D 函数定义域为，，即函数是奇函数，又，因此函数在上单调递增，不等式，即，于是，即，解得，所以实数的取值范围为．
7．D 由条件，，利用基本不等式可得，故A正确．根据，B正确．当时，C成立；当时，C显然成立．当时，C等价于，等价于，等价于，显然成立，故C正确．当，时，，，故此时D不成立，D不正确．
8．A 曲线的切线过，时，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，则，切线，切线过，，则，．同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，，切线过，，，则．
9．BCD ，，令，则，故B正确；则，，，故A错误；的图象在处的切线的斜率为，故C正确；，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D正确．
10．AB 对于A，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件，故A正确；对于B，若是的必要不充分条件，则，；若是充要条件，则，；则有，，即是的充分不必要条件，故B正确；对于C，当时，方程可化为，也满足唯一解的条件，故C错误；对于D，依题意，得，，所以“”“”，即充分性成立；反之不成立，如，，，不能推出“”，即必要性不成立，故D错误．
11．BD 令，得，因为，所以，所以A错误；令，得①，所以，因为是奇函数，所以是偶函数，所以②，由①②，得，即，所以，所以，是周期为3的函数，所以，，所以B正确，C错误；因为，在①中令得，所以，，所以D正确．
12． 因为“，使得”是假命题，所以“，使得”是真命题，所以，解得．
13．2 由得的定义域为，是偶函数，故，即，解得．此时，而，故为偶函数，故．
14．4 由，得，，，与均为的根．为单调递增函数，，．
15．解：（1）都有，，
又由题知，所以
解得，故的取值范围是．
（2）由于且，则，因为，所以，所以，
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得．
故时，，故的取值范围是．
16．解：（1），由题意得解得，．
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值．所以，．
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，最小值为0．
17．解：（1），
因为，所以的定义域为，
令．
所以，即的值域为．
（2）令函数，
该函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，要使在上单调递增，则在上单调递增，且恒成立，
故解得，故的取值范围是．
18．解：（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，
即，
联立解得
（2）由可得．
令，当且仅当时，等号成立，则，
故有，其中．
令，其中，则函数在上有零点，
①当时，即当时，则在上单调递增，所以，不符合题意；
②当时，即当时，则有，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是．
19．（1）解：函数的定义域为，，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以，
所以函数在上单调递增．
（2）证明：原不等式为，即，
即证在上恒成立．
设，则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以．
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以．
且在上有所以可得到，即，
所以在时，有成立．
