2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的方程为，则该椭圆的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的倾斜角为，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知是以，为焦点的椭圆上的一点，若，且，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为，则四边形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，是线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线的一个方向向量是
B. 若，则
C. 点关于直线对称点的坐标为
D. 直线斜率取值范围是
10.已知圆：，点是圆上的点，直线，则( )
A. 直线与圆相交弦长
B. 圆上恰有个点到直线的距离等于
C. 的最大值是
D. 过点向圆：引切线，为切点，则最小值为
11.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于，两点，直线交椭圆于，两点，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 若点在椭圆上，将直线，的斜率分别记为，，则
C. 点到椭圆的左焦点的距离的最小值为
D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆与圆的交点为，，则直线方程为______．
13.已知点在圆外其中为常数，则实数的取值范围______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯约公元前公元前年的著作圆锥曲线论是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆已知：，，，为上一动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，点为圆上任意一点，点，点是线段的中点．
求点的轨迹方程；
点是轨迹上任一点，求的取值范围．
16.本小题分
已知在中，，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
求，两点的坐标；
求的外接圆方程．
17.本小题分
已知圆：和点．
过作圆的切线，求切线的方程；
过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求的值．
18.本小题分
已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线：与椭圆相交于，两点，
若，为的中点，为坐标原点，，求实数的值；
若直线，的斜率为，，且，证明：直线过定点，并求定点坐标．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，且椭圆经过点．
求椭圆的标准方程；
经过点的直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的取值范围．
参考答案
1.
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11.
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14.
15.解：如图：
设，根据题意有，即，
又因为点在圆上，所以有，
整理得，即，
所以点的轨迹为圆心为，半径为的圆．
如图：
令，则有，为直线的纵截距，
由题意可知，直线与圆有交点的情况下，
直线的纵截距越大，越大；直线的纵截距越小，越小．
由图可知，令直线与圆相切，
此时圆心到直线的距离为半径，
由此可得，解得，
所以的取值范围为
16.解：因为边上的高所在直线的方程为，所以，
则直线的方程为，即，
由，得，所以，
设，则点，中点为，
所以，解得，即；
因为，，所以的中点坐标为，
，所以线段的垂直平分线方程为，即，
同理可得线段的垂直平分线方程为，
由，，所以的外接圆圆心为，
所以的外接圆半径为，所以的外接圆方程为．
17.解：当过点的切线斜率不存在时，则切线的方程为，显然满足题意，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
解得，
即切线的方程为，
即，
综上所述：切线的方程为或；
由去一留一法，设直线的方程可得：，
而点在直线上，所以．
18.解：当时，：，设，，，
联立，消去可得，
，解得，
所以，
由中点坐标公式可得，，
又，解得，符合题意；
证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则，，
因为点为椭圆上顶点，所以，
所以，，则，所以，
当直线的斜率存在时，直线方程为，
联立椭圆方程，消去可得，
，
所以，，
则，
将韦达定理代入上式并化简可得，
即，舍，所以，
所以直线，此时直线过定点，
综合以上可知直线过定点．
19.解：由椭圆的焦点，，
则，所以，整理可得，
由椭圆过，则，
整理可得，化简可得，
由，则舍去，所以，，
所以椭圆的标准方程为．
当直线的斜率不存在时，则直线与轴重合，，
将代入椭圆方程，可得，解得，则，
四边形的面积；
易知当直线的斜率不存在时，四边形的面积；
当两直线都存在时，设直线，直线，
设，
联立，消去整理可得：，
则，，
所以
，
同理可得，
四边形的面积，
因为，则，所以，
，当且仅当时，等号成立，
令，则，
由，，，则；
综上所述，四边形的面积的取值范围为．
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