第二章 有理数及其运算
时间:60分钟 满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.给出下列各数:,-0.7,-9,25,3.14,0,-2.其中负分数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列运算结果为正数的是 ( )
A.(-3)2 B.-6÷2
C.0×(-2024) D.9-10
3.国家统计局2024年2月29日发布《2023年国民经济和社会发展统计公报》,经初步核算,2023年全年国内生产总值达到1260000亿元,数据1260000亿用科学记数法表示为 ( )
A.1.26×1014 B.1.26×1013
C.1.26×1012 D.12.6×1013
4.计算(-3+4)×-2÷(-2)的结果是 ( )
A.8 B.- C. D.-8
5.在算式3-|-4□5|中的□所在的位置,填入下列哪种运算符号,计算出来的值最小 ( )
A.+ B.- C.× D.÷
6.小明学了计算机运算程序后,编制了一个程序:当他任意输入一个有理数以后,计算机会计算出这个有理数的平方减去1的差.如果他第一次输入-2,然后将所得结果再次输入,那么最后得到的结果是 ( )
A.0 B.3 C.8 D.10
7.某私家车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况:
加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米
2024年6月8日 12 35000
2024年6月12日 48 35600
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 ( )
A.6升 B.10升 C.8升 D.12升
8.已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中-1
9.中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.如图,根据刘徽的这种表示方法,图①表示2+(-2),可推算图②表示的数值为 .
10.两个因数相乘,积为18,其中一个因数是-,那么另一个因数为 .
11.计算:--5+16+(-15.5)--3= .
12.给定一列按规律排列的数:-,,-,,….则这列数的第10个数是 .
三、解答题(本大题6小题,共52分)
13.(6分)计算:102+16×-2-25÷.
14.(8分)已知数轴上有两个点A,B,在数轴上分别表示数-2,1,点C到点B的距离与点A到点B的距离相等,且点C不与点A重合.
(1)在数轴上表示出点C的位置;
(2)若点A处有一只蝴蝶以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向右飞行,同时在点C处有一只蝴蝶以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向左飞行,则这两只蝴蝶需多少秒才能相遇
15.(8分)10名同学参加英语竞赛,以80分为标准,超过80分的部分记为正,不足80分的部分记为负,得分记录如下:+9,+8,-10,-7,-6,+2,+3,-2,0,+1.这10名同学的平均分是多少
16.(8分)当温度每上升1 ℃时,某种金属丝伸长0.002 mm,反之,当温度每下降1 ℃时,金属丝缩短0.002 mm.把15 ℃的这种金属丝加热到60 ℃,再使它冷却到5 ℃,则最后的长度与原来相比有什么变化
17.(10分)新规定一种运算法则:自然数1到n的连乘积用n!表示,例如,1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1=24,….在这种规定下,请你解决下列问题:
(1)计算 5!的值;
(2)计算×42÷(34-1)的值.
18.(12分)如图,一根木棒放在数轴上,数轴的1个单位长度为1 cm,木棒的左端与数轴上的点A重合,右端与点B重合.若将木棒沿数轴向右水平移动,则当它的左端移动到点B时,它的右端在数轴上所对应的数为20;若将木棒沿数轴向左水平移动,则当它的右端移动到点A时,它的左端在数轴上所对应的数为5.
(1)木棒的长为 cm.
(2)图中点A所表示的数是 ,点B所表示的数是 .
(3)由题(1)(2)的启发,请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下面的问题:
一天,小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要40年才出生;你若是我现在这么大,我已经125岁,是老寿星了,哈哈!”请你求出爷爷现在的年龄.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A A B C C C B
1.B 【解析】负分数有-0.7,-2,共2个.
2.A 【解析】(-3)2=9;-6÷2=-3;0×(-2024)=0;9-10=-1.
3.A 【解析】1260000亿=1.26×106×108=1.26×1014.
4.B 【解析】原式=1××-=-.
5.C 【解析】3-|-4+5|=3-1=2;3-|-4-5|=3-9=-6;3-|-4×5|=3-20=-17;3-|-4÷5|=3-0.8=2.2.
6.C 【解析】第一次的计算结果为(-2)2-1=3;第二次的计算结果为32-1=8.
7.C 【解析】由题意得这段时间的耗油量为48升,行驶里程为35600-35000=600(千米),48÷(600÷100)=8(升).
8.B 【解析】因为-1
一题多解:本题为选择题,因此也可以使用特值法,由-1
9.-3 【解析】由题意可得3+(-6)=-3.
10.-27 【解析】另一个因数为18÷-=-27.
11.10 【解析】原式=5+16-15.5+3=5-15.5+16+3=-10+20=10.
12. 【解析】由已知的4个数可得,第n个数的分子为n,分母为n2+1,符号是(-1)n,即第n个数为(-1)n·,则第10个数是.
链接真题 (2023·恩施)观察下列两行数,探究第②行数与第①行数的关系:
-2,4,-8,16,-32,64,…①
0,7,-4,21,-26,71,…②
根据你的发现,完成填空:第①行数的第10个数为 ;取每行数的第2023个数,则这两个数的和为 .
答案:(-2)10 -22024+2024
解析:观察数据可得,第①行数的第10个数为(-2)10,
第①行数的第2023个数为(-2)2023,第②行数的第2023个数为(-2)2023+2024,
所以取每行数的第2023个数,则这两个数的和为(-2)2023+(-2)2023+2024=2×(-2)2023+2024=-22024+2024.
三、解答题
13.解:原式=100+16×-25×5
=100+4-125=-21. (6分)
14.解:(1)点C在数轴上表示的数为4,其在数轴上的位置如图所示. (4分)
提示:点A和点B之间的距离为3,因而点C与点B的距离也是3,且点C不与点A重合,所以点C表示的数为1+3=4.
(2)根据题意得[(4-(-2)]÷(1+2)=6÷3=2(秒).
所以这两只蝴蝶需2秒才能相遇. (8分)
命题分析 本题考查数轴与有理数之间的关系.(1)在数轴上表示某点时,首先要明确该点表示的数是正数还是负数,若是正数,则在原点右侧用点描出;若是负数,则在原点左侧用点描出.(2)求两只蝴蝶飞行的时间,可根据“两只蝴蝶之间的距离÷两只蝴蝶飞行的速度和”求解,因此需先根据数轴求出两只蝴蝶之间的距离AC.
15.解:+9+8+(-10)+(-7)+(-6)+2+3+(-2)+0+1=23+(-25)=-2, (5分)
则这10名同学的总分为80×10+(-2)=798, (7分)
所以这10名同学的平均分为798÷10=79.8. (8分)
16.解:(60-15)×0.002-(60-5)×0.002 (3分)
=45×0.002-55×0.002
=(45-55)×0.002
=(-10)×0.002
=-0.02(mm). (7分)
答:最后的长度比原来缩短了0.02 mm. (8分)
17.解:(1)5!=5×4×3×2×1=120; (4分)
(2)原式=9×16÷(81-1)
=9×16÷80
=. (10分)
18.解:(1)由数轴可得三根木棒的长为20-5=15(cm),则木棒的长为15÷3=5(cm).
故答案为5. (2分)
(2)因为木棒的长为5 cm,将木棒沿数轴向右水平移动,当它的左端移动到点B时,它的右端在数轴上所对应的数为20,所以点B表示的数是15;将木棒沿数轴向左水平移动,当它的右端移动到点A时,它的左端在数轴上所对应的数为5,故点A表示的数是10.
故答案为10,15. (6分)
(3)借助数轴,把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB.当爷爷是小红现在的年龄时,看作点B移动到点A,此时点A所对应的数为-40.当小红是爷爷现在的年龄时,看作点A移动到点B,此时点B所对应的数为125,所以爷爷比小红大[125-(-40)]÷3=55(岁),故爷爷现在的年龄为125-55=70(岁). (12分)
