2025届九年级第一次素质拓展数学试题（2024年10月）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的相反数为（ ）．
A． B． C．3 D．
2．下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定为矩形的只有（ ）
A． B．，，
C． D．
4．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元．设平均每天票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知正方形ABCD的边长是7，点E、F分别在BC、CD上，，BF与AE相交于点G，点H为AF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．在实数，，0，，中，最小的无理数是________
10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为________．
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，，E是CD的中点，则OE的长等于________．
12．方程没有实效根，则a的取值范围是________
13．如图，在矩形ABCD中，，，点M，N分别在AD，BC上，且．，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到，当点恰好落在直线MN上时，CE的长为________．
三、解答题：本题共12小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（本小题5分）计算：．
15．（本小题5分）解方程：．
16．（本小题8分）用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）．
17．（本小题5分）如图，在中，，，请用尺规作图法，在内部求作一点P。使，且．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（本小题S分）如图，在中，，作，且使，作，交BC的延长线于点E．求证：．
19．（本小题6分）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步？
20．（本小题7分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作，过点D作，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若，，求矩形OCED的面积．
21．（本小题7分）已知关于x的一元二次方程：．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根；
（2）当时，此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长，求菱形ABCD的面积．
22．（本小题7分）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
23．（本小题8分）某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶，该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶．
（1）如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？
（2）同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元．为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价，则洗发水至少需要打几折？
24．（本小圆8分）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．
（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；
（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．
25．（本小题10分）【问题探究】
（1）如图1，在中，，，E是BC的中点，连接AE、BD．
①求证：是等边三角形；
②若，求BD的长．
【问题解决】
（2）为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块四边形生物基地ABCD，如图2，，，．E为BC上的中点，BD为该生物基地内一条笔直的灌溉水渠，管理人员计划在水渠BD上找一点F，连接AF、AE、EF，拟将三角形AEF区域规划为种苗培育区，三角形ABE区域规划为蔬菜种植区，其余区域规划为水果种植区，并且要求，管理人员准备令，便可找到符合要求的点F．请问管人员的作法（当时，）是否可行？若可行，请给出证明：若不可行，请说明理由．
图1 图2
