专题06 实数的混合运算
【典例1】按要求解答下列各小题．
计算：
（1）；
（2）．
解方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，利用立方根解方程，涉及算术平方根与立方根的计算、乘方的计算、实数的绝对值计算等，解题关键是熟练掌握相关知识．
计算：
（1）先计算算术平方根、乘方、立方根、绝对值，然后相加减，即可得解；
（2）先计算乘方、算术平方根、立方根，然后进行乘法运算，最后再进行加减运算，即可得解．
解方程：
（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
【解题过程】
计算：
（1）解：原式
；
（2）原式
．
解方程：
（1） ，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
【方法总结】
实数的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
1．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）计算
（1）；
（2）
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
（1）；
（2）．
3．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）计算：
（1）；
（2）．
4．（23-24七年级下·河南安阳·期末）计算：
（1）；
（2）．
5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）计算：
（1）
（2）
6．（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）计算：
（1）；
（2）．
7．（23-24七年级下·山东临沂·期中）计算：
（1）
（2）；
8．（23-24七年级下·山东济宁·期中）计算：
（1）；
（2）
9．（23-24七年级下·云南昭通·期末）计算：
（1）
（2）
10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）计算下列各题：
（1），
（2）．
11．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：．
16．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算：
（1）求x的值：；
（2）；
（3）．
17．（23-24七年级下·河南商丘·期中）（1）计算：；
（2）计算：．
（3）解方程：；
（4）解方程：．
18．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算
（1）
（2）
求下列各式中x的值
（3）
（4）
19．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：；
（4）解方程：．
20．（23-24七年级下·河南商丘·期中）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：；
（4）解方程：．
专题06 实数的混合运算
【典例1】按要求解答下列各小题．
计算：
（1）；
（2）．
解方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，利用立方根解方程，涉及算术平方根与立方根的计算、乘方的计算、实数的绝对值计算等，解题关键是熟练掌握相关知识．
计算：
（1）先计算算术平方根、乘方、立方根、绝对值，然后相加减，即可得解；
（2）先计算乘方、算术平方根、立方根，然后进行乘法运算，最后再进行加减运算，即可得解．
解方程：
（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
【解题过程】
计算：
（1）解：原式
；
（2）原式
．
解方程：
（1） ，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
【方法总结】
实数的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
1．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）计算
（1）；
（2）
【思路点拨】
本题考查了实数的混合运算．
（1）先开方、乘方、除法运算转化为乘法运算，再计算乘法运算和减法运算；
（2）先开方、去绝对值符号，再计算加减即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了实数的混合运算，立方根的求解，算术平方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先求出算术平方根，立方根，再算加减法即可；
（2）先运算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再算加减法即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）
．
3．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．要明确的是，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
4．（23-24七年级下·河南安阳·期末）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
此题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，熟练掌握各计算法则是解题的关键：
（1）分别计算绝对值，乘方，立方根和算术平方根，再计算加减法；
（2）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减法．
【解题过程】
（1）解：；
（2）
5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）计算：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可；
（2）先计算立方根和绝对值，再根据实数的运算法则求解即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
6．（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查实数计算，立方根计算，算术平方根计算，绝对值化简等．
（1）先利用算术平方根、立方根的定义化简，再从左到右依次计算即可；
（2）先利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义化简，再从左到右依次计算即可．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
7．（23-24七年级下·山东临沂·期中）计算：
（1）
（2）；
【思路点拨】
本题考查实数混合运算．熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
（1）先去括号，再计算加减即可；
（2）先计算开方，去值符号，再计算加减即可．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
8．（23-24七年级下·山东济宁·期中）计算：
（1）；
（2）
【思路点拨】
（1）根据有理数的乘方、立方根，实数的混合运算进行计算即可求解；
（2）先计算算术平方根、化简绝对值，再进行加减计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值的定义是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
9．（23-24七年级下·云南昭通·期末）计算：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题主要考查了实数的运算，解答此题 的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行：
（1）原式先化简，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）原式先计算乘方，开立方、开平方、化简绝对值，再算加减．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）计算下列各题：
（1），
（2）．
【思路点拨】
本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键．
（1）先计算算术平方根与立方根，再计算有理数的加减法即可得；
（2）先化简绝对值、算术平方根，再计算实数的加减法即可得．
【解题过程】
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
11．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）计算:
（1）
（2）
【思路点拨】
（1）根据算术平方根、立方根、乘方的定义及绝对值的性质分别运算，再合并即可求解；
（2）根据绝对值的性质、算术平方根、乘方及立方的定义分别运算，再合并即可求解；
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
．
12．（23-24七年级下·四川南充·期中）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
此题主要考查了实数运算，涉及算术平方根，立方根，绝对值的求解，正确化简各数是解题关键．
（1）直接利用立方根以及算平方根分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）
．
13．（23-24七年级下·重庆·期中）计算：
（1）；
（2）；
【思路点拨】
本题考查了实数的运算，熟记运算法则是解题关键．
（1）根据立方根、算术平方根、乘方进行计算，最后加减即可；
（2）根据立方根、算术平方根、绝对值、有理数除法进行计算，最后加减即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
14．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
（1）先计算开方，再计算加减即可；
（2）先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．（23-24七年级下·山东德州·期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：．
【思路点拨】
本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用算术平方根、立方根、化简绝对值及二次根式性质计算即可；
（2）利用算术平方根、立方根及二次根式性质计算即可；
（3）方程变形后，利用开方运算即可求解．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）
；
（3），
，
，
．
16．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算：
（1）求x的值：；
（2）；
（3）．
【思路点拨】
本题考查了利用平方根解方程、立方根、算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可得出答案；
（3）先化简绝对值，求算术平方根，再计算加减即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：
；
（3）解：
．
17．（23-24七年级下·河南商丘·期中）（1）计算：；
（2）计算：．
（3）解方程：；
（4）解方程：．
【思路点拨】
本题考查了实数的运算，用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
（2）利用平方根和绝对值的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案．
（3）方程变形后，利用开平方法计算即可．
（4）方程变形后，利用立方根定义开立方即可解答．
【解题过程】
解：（1）原式，
（2）原式．
（3），
．
．
或．
（4），
，
．
．
．
18．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算
（1）
（2）
求下列各式中x的值
（3）
（4）
【思路点拨】
本题考查了解方程，立方根与平方根等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方，立方根与去括号，然后加减即可；
（2）先去绝对值，计算二次根式，然后加减即可；
（3）直接开方求解即可；
（4）直接开立方求解即可．
【解题过程】
解：（1）原式
（3）
或；
（4）
．
20．（23-24七年级下·河南商丘·期中）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：；
（4）解方程：．
【思路点拨】
本题主要考查了实数的综合运算能力、立方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根的相关知识是解题的关键．
（1）根据立方根，算术平方根计算即可得到答案；
（2）根据立方根，算术平方根计算即可得到答案；
（3）根据平方根的意义，直接计算即可得到答案；
（4）根据立方根的意义，直接计算即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）
；
（2）
；
（3）∵，
∴，
∴，即或，
∴或；
（4），
，
，
．
()
