普宁华侨中学2024-2025学年度高二第一学期第一次月考数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≤0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩( UB)＝( )
A．(0，3] B．{0} C．(－∞，0] D．[－3，1]
2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩β＝m，则“m⊥n”是“n⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.若复数z满足z(1＋i)＝|－i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4. 已知α为锐角，且cos (α＋)＝－，则cos (α＋)＝( )
A．－ B． C．－ D．
5.已知平面向量a，b满足|a|＝4，b＝(1，2)，且(a＋2b)⊥(3a－b)．则向量a与向量b的夹角是( )
A. B. C. D.
6.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x(1＋x) B．f(x)＝x(x－1) C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(1－x)
8.如图，四棱锥S ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sin α的最大值为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A．＋有最小值4 B．有最大值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
10．下列说法正确的是( )
A．1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的第60百分位数是6
B．已知一组数据2、3、5、x、8的平均数为5，则这组数据的方差是5.2
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若x1、x2、…、x10的标准差为2，则3x1＋1、3x2＋1、…、3x10＋1的标准差是6
11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ．
13.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
14.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知点，，，设，，．
(1)若实数使与垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
17（15分）某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了100个零件并称出它们的重量(单位：克)．重量按照[495，505)，[505，515)，…，[535，545]分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)估计该工厂生产的零件重量的平均数；(每组数据用该组的中点值作代表)
(2)估计该工厂生产的零件重量的80%分位数；
(3)按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于525克的零件中抽取6个零件，再从这6个零件中任取2个，求这2个零件的重量均在[525，535)内的概率．
（17分） 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
19．（17分）如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．
(1)是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
(2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
(3)求三棱锥的外接球半径的最小值．
普宁市华侨中学2024—2025学年度第一学期高二级
第一次月考数学科试题参考答案
1-8 BBAC CBDA 9.ACD 10.BD 11.ACD
12. 13. 39π 14.
15．【解析】（1）依题意，， …………………3分
， …………………5分
由与垂直，得，解得， 所以. …………7分
(2)由（1）知，，， …………………10分
所以在上的投影向量为. ……………13分
16．解：（1）因为，由正弦定理可得，…………………2分
又， …………………4分
所以， …………………5分
因为，则，所以，…………………6分
因为，所以. …………………7分
(2)因为，，由余弦定理可得，…………………9分
整理得， …………………11分
又，解得，…………………13分
所以.…………………15分
17[解] (1)由题意得：(0.005＋0.015＋0.02＋0.035＋t)×10＝1，解得t＝0.025. ………… 2分
则各个小组的频率分别为0.15，0.2,0.35,0.25,0.05. …………………3分
估计该工厂生产的零件重量的平均数约为500×0.15＋510×0.2＋520×0.35＋530×0.25＋540×0.05＝518.5. ………………… 5分
(2)设80%分位数为x，∵前三组频率和为0.7，前四组频率和为0.95，∴x∈[525，535)，……… 6分
∴0.7＋×0.025＝0.8， ………………… 8分
解得x＝529，该工厂生产的零件重量的80%分位数为529. …………… 9分
(3)由条件知：6个零件中，重量在[525，535)内的零件个数为5，分别记为A，B，C，D，E；重量在[535，545]内的零件个数为1，记为f. …………………10分
从中随机抽取2个，样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，，，，，，，，，，，，}，∴n＝15. …… 12分
设“这2个零件的重量均在[525，535)内”为事件M，则M＝{(A，B)，，，，，，，，，}，∴n＝10，………………… 13分
∴P＝＝＝. ………………… 15分
18.证明：（1）在直三棱柱中，平面,平面,
所以 ， ……………… 2分
又由题可知，， ………………… 3分
因为,平面且,
所以平面, …………………6分
又因为平面,所以. ………………… 7分
（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，………………… 8分
由，，可得， …………………9 分
则有 …………………10 分
设平面的一个方向量为 ,
所以 即 令则，
所以 …………………13分
因为平面,所以为平面的一个法向量，………… 14分
所以,, ………………… 16分
即二面角的余弦值等于. ………………… 17分
19．【解析】（1）存在一点G，当点G为的中点，使得面，………… 1分
连接，如图所示：
∵点分别是的中点，，………………… 2分
又，且，∴四边形是平行四边形，……………… 3分
，，…………………4分
又∵平面，且平面EFG，∴平面．………………… 5分
（2）取的中点，连接，，由题意可知，平面，且，
是直线与平面所成的角，即，………………… 6分
在中，，………………… 7分
∴在中，，………………… 8分
又，………………… 9分
．………………… 10分
（3）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，
………………… 11分
则，所以，，
因为，，所以，即，
因为平面，平面，所以平面，………………… 12分
又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，
设外接球球心为，设，，则的坐标为，………………… 13分
设，则，即，
所以，………………… 14分
设，则，则，
而，当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，………………… 15分
三棱锥的外接球的半径
，………………… 16分
因为，所以，所以，
三棱锥的外接球半径的最小值为．………………… 17分
