湖南省衡阳市外国语学校等校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·石鼓期末）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024九上·石鼓期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
3．（2024九上·石鼓期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·石鼓期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB＝，则AC等于（ ）
A． B．3 C．4 D．5
5．（2024九上·石鼓期末）在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是 ，则黄球的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2024九上·石鼓期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．15米 D．10米
7．（2024九上·石鼓期末）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·石鼓期末）下列各点中，抛物线y=x2-4x-4经过的点是( )
A． B． C． D．
9．（2024九上·石鼓期末）如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．
10．（2024九上·石鼓期末）已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2024九上·石鼓期末） 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2024九上·石鼓期末）抛物线的顶点坐标是 ．
13．（2024九上·石鼓期末）方程 的根是 ；
14．（2024九上·石鼓期末）在中，若，则等于 ．
15．（2024九上·石鼓期末）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长交于点，若，，则线段的长为 ．
16．（2024九上·石鼓期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有 （填序号）．
17．（2024九上·石鼓期末）计算：
18．（2024九上·石鼓期末）解方程：
19．（2024九上·石鼓期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，求m的值．
20．（2024九上·石鼓期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有，，，的四个小球．除所标数字不同外，小球没有任何区别．
（1）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
（2）若设计一个游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为的为甲胜，否则为乙胜．请问这个游戏方案对甲、乙公平吗？试说明理由．
21．（2024九上·石鼓期末）市教育局幼儿园新建了一个滑滑梯，如图，为扶梯，为连廊，为滑梯，已知，，设，，一小女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？
22．（2024九上·石鼓期末）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
23．（2024九上·石鼓期末）麦积山石窟是世界文化遗产，国家级旅游景区，中国四大石窟之一．在中国西北旅游营销大会旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利元，按标价的九折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获得利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别为多少元？
（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售．商家每天可卖该工艺品件，若每件工艺品降价元，则每天可以多卖该工艺品件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润为多少元？
24．（2024九上·石鼓期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 °， °．
（2）如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”．
（3）如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，，，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
25．（2024九上·石鼓期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在关于的一元二次方程中，
，而方程有两个实数根，
，
；
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，再求解即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°， AB=5，
∴cosB=，
∴BC=4，
由勾股定理得AC===3，
故答案为：B
【分析】先根据锐角三角函数的定义得到cosB=，进而得到BC，再运用勾股定理即可求解。
5．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设黄球的个数为x个，根据题意得： = ，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24.故答案为：C.
【分析】设黄球的个数为x个，利用概率公式列出等式，求出x的值即可.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡比为，
∴，
∵米，
∴米，
故答案为：A．
【分析】利用“迎水坡的坡比为”可得，再结合BC的长求出AC的长即可.
7．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
设a=5k，b=8k，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质可得到a：b的值，设a=5k，b=8k，再代入代数式进行化简即可。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当x＝0时，y＝－4，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（0，4）；
B、当x＝1时，y＝12－4×1－4＝－7，∴抛物线y＝x2－4x－4经过点（1，－7）；
C、当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)－4＝1，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（－1，－1）；
D、当x＝2时，y＝22－4×2－4＝－8，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（2，8）．
故答案为：B．
【分析】将各选项中的点坐标的横坐标分别代入解析式求出y的值，再判断即可.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，EF＝4，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】先证出，可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得，从而得解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
对称轴为：，
，
则，①正确；
，
，②错误；
时，，对称轴为直线，
当时，，
，③错误；
，
，④正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，⑤正确；
正确的结论有①④⑤，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
要使二次根式有意义，则，解得：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0.
12．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
13．【答案】x1=2，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-1）=x，
x（x-1）-x=0，
x（x-1-1）=0，
x-1-1=0，x=0，
x1=2，x2=0．
故答案为：x1=2，x2=0．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，，再利用特殊角的三角函数值可得，，最后利用三角形的内角和求出即可.
15．【答案】2
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为的中点，
，
，
又平分，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再证出，可得，即，求出DE的长，最后利用线段的和差求出EF的长即可.
16．【答案】②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan∠BAE＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；
∴CF＝EC＝CD，
∴CD＝4CF，
故③错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴，，
∴，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
故答案为：②④．
【分析】先利用正方形的性质及相似三角形的判定方法证出 △CEF∽△BAE， △ABE∽△AEF， 再利用相似三角形的性质逐项分析判断即可.
17．【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、0指数幂和二次根式的性质化简，再计算即可.
18．【答案】解：，
，
0，
，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
19．【答案】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，
∴m2﹣2（2m﹣1）＝7，
解得：m1＝5，m2＝﹣1，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝m2﹣4（2m﹣1）≥0，
∴当m＝5时，
Δ＝25﹣36＝﹣11＜0，舍去；
∴符合条件的m的值为m＝﹣1．
故答案为：m＝﹣1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，再结合 x12+x22＝7 ，可得m2﹣2（2m﹣1）＝7，求出m的值，最后利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）求出m的取值范围，从而可得m的值.
20．【答案】（1）解：树状图如下：
共有种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有，，，共种情况，
两个球上的数字之和为偶数的概率为：；
故答案为：.
（2）解：两个球上的数字之差的绝对值为的有，，，，，共种情况 ，
，，
，
这个游戏方案公平．
故答案为：公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（2）利用概率公式分别求出甲、乙获胜的概率，再比较大小即可.
21．【答案】解：在中，，，
∴，
，
在中，，，
∴，
∴，
∴她经过的总路程为：米．
故答案为：米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出BE的长，再利用勾股定理求出AB的长；再利用直角三角形的方法求出DF的长，利用勾股定理求出CD，最后利用线段的和差求出总路程即可.
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再利用等量代换证出，最后证出即可；
（2）取的中点G，连接，先证出，可得，再结合，证出，利用相似三角形的性质可得，最后利用等量代换求出即可．
23．【答案】（1）解：设每件工艺品进价为元，售价为元，
根据题意得：
解得：，
，
每件工艺品进价为元，售价为元，
故答案为：进价元每件，标价元每件.
（2）解：设每件工艺品降价元，利润为元，则：
，
当时，，
每件工艺品降价元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润为元．
故答案为：每件工艺品降价元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润为元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件工艺品进价为元，售价为元，根据“ 按标价的九折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获得利润相等 ”列出方程，再求解即可；
（2）设每件工艺品降价元，利润为元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
24．【答案】（1）140，70
（2）证明：如图：
在中，
为斜边边上的中线，
，
，
，
，
.
，
，
，且
四边形是“等对角四边形”；
（3）解：点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图：
平分，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵，，
∴，
，，
，
，即，
，
，
，
；
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：四边形是“等对角四边形”，，
，
，
故答案为：140，70；
【分析】（1）利用“ 等对角四边形 ”直接可得，再利用四边形的内角和求出∠C的度数即可；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，且，即可证出四边形是“等对角四边形”；
（3）点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，先证出，可得，即，求出，利用勾股定理求出CE的长，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
25．【答案】（1）解：根据题意可得：，
令，得：，
解得：，，
令，得，
∴，，．
故答案为：，，.
（2）解：当时，四边形是平行四边形，
∵点与点关于轴对称，
∴点，，
∴直线为，
由题可得，，
则，
解得，（舍去），
∴当时，四边形是平行四边形．
（3）解：①当时，有，
即
解得：，（舍去），
∴；
②当时，有，
即
解得：，，
∴有，；
综上所述：点的坐标为，，．
故答案为：存在，点的坐标为，，.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出y和x的值，即可得到点A、B、C的坐标；
（2）根据题意可得，，再列出方程，求出m的值即可；
（3）分类讨论：①当时，有，②当时，有，再分别列出方程求解即可.
湖南省衡阳市外国语学校等校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·石鼓期末）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．（2024九上·石鼓期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
3．（2024九上·石鼓期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在关于的一元二次方程中，
，而方程有两个实数根，
，
；
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，再求解即可.
4．（2024九上·石鼓期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB＝，则AC等于（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°， AB=5，
∴cosB=，
∴BC=4，
由勾股定理得AC===3，
故答案为：B
【分析】先根据锐角三角函数的定义得到cosB=，进而得到BC，再运用勾股定理即可求解。
5．（2024九上·石鼓期末）在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是 ，则黄球的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设黄球的个数为x个，根据题意得： = ，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24.故答案为：C.
【分析】设黄球的个数为x个，利用概率公式列出等式，求出x的值即可.
6．（2024九上·石鼓期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．15米 D．10米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡比为，
∴，
∵米，
∴米，
故答案为：A．
【分析】利用“迎水坡的坡比为”可得，再结合BC的长求出AC的长即可.
7．（2024九上·石鼓期末）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
设a=5k，b=8k，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质可得到a：b的值，设a=5k，b=8k，再代入代数式进行化简即可。
8．（2024九上·石鼓期末）下列各点中，抛物线y=x2-4x-4经过的点是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当x＝0时，y＝－4，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（0，4）；
B、当x＝1时，y＝12－4×1－4＝－7，∴抛物线y＝x2－4x－4经过点（1，－7）；
C、当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)－4＝1，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（－1，－1）；
D、当x＝2时，y＝22－4×2－4＝－8，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（2，8）．
故答案为：B．
【分析】将各选项中的点坐标的横坐标分别代入解析式求出y的值，再判断即可.
9．（2024九上·石鼓期末）如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，EF＝4，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】先证出，可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得，从而得解.
10．（2024九上·石鼓期末）已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
对称轴为：，
，
则，①正确；
，
，②错误；
时，，对称轴为直线，
当时，，
，③错误；
，
，④正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，⑤正确；
正确的结论有①④⑤，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
11．（2024九上·石鼓期末） 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
要使二次根式有意义，则，解得：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0.
12．（2024九上·石鼓期末）抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
13．（2024九上·石鼓期末）方程 的根是 ；
【答案】x1=2，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-1）=x，
x（x-1）-x=0，
x（x-1-1）=0，
x-1-1=0，x=0，
x1=2，x2=0．
故答案为：x1=2，x2=0．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
14．（2024九上·石鼓期末）在中，若，则等于 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，，再利用特殊角的三角函数值可得，，最后利用三角形的内角和求出即可.
15．（2024九上·石鼓期末）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长交于点，若，，则线段的长为 ．
【答案】2
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为的中点，
，
，
又平分，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再证出，可得，即，求出DE的长，最后利用线段的和差求出EF的长即可.
16．（2024九上·石鼓期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan∠BAE＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；
∴CF＝EC＝CD，
∴CD＝4CF，
故③错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴，，
∴，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
故答案为：②④．
【分析】先利用正方形的性质及相似三角形的判定方法证出 △CEF∽△BAE， △ABE∽△AEF， 再利用相似三角形的性质逐项分析判断即可.
17．（2024九上·石鼓期末）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、0指数幂和二次根式的性质化简，再计算即可.
18．（2024九上·石鼓期末）解方程：
【答案】解：，
，
0，
，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
19．（2024九上·石鼓期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，求m的值．
【答案】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，
∴m2﹣2（2m﹣1）＝7，
解得：m1＝5，m2＝﹣1，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝m2﹣4（2m﹣1）≥0，
∴当m＝5时，
Δ＝25﹣36＝﹣11＜0，舍去；
∴符合条件的m的值为m＝﹣1．
故答案为：m＝﹣1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，再结合 x12+x22＝7 ，可得m2﹣2（2m﹣1）＝7，求出m的值，最后利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）求出m的取值范围，从而可得m的值.
20．（2024九上·石鼓期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有，，，的四个小球．除所标数字不同外，小球没有任何区别．
（1）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
（2）若设计一个游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为的为甲胜，否则为乙胜．请问这个游戏方案对甲、乙公平吗？试说明理由．
【答案】（1）解：树状图如下：
共有种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有，，，共种情况，
两个球上的数字之和为偶数的概率为：；
故答案为：.
（2）解：两个球上的数字之差的绝对值为的有，，，，，共种情况 ，
，，
，
这个游戏方案公平．
故答案为：公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（2）利用概率公式分别求出甲、乙获胜的概率，再比较大小即可.
21．（2024九上·石鼓期末）市教育局幼儿园新建了一个滑滑梯，如图，为扶梯，为连廊，为滑梯，已知，，设，，一小女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？
【答案】解：在中，，，
∴，
，
在中，，，
∴，
∴，
∴她经过的总路程为：米．
故答案为：米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出BE的长，再利用勾股定理求出AB的长；再利用直角三角形的方法求出DF的长，利用勾股定理求出CD，最后利用线段的和差求出总路程即可.
22．（2024九上·石鼓期末）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再利用等量代换证出，最后证出即可；
（2）取的中点G，连接，先证出，可得，再结合，证出，利用相似三角形的性质可得，最后利用等量代换求出即可．
23．（2024九上·石鼓期末）麦积山石窟是世界文化遗产，国家级旅游景区，中国四大石窟之一．在中国西北旅游营销大会旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利元，按标价的九折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获得利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别为多少元？
（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售．商家每天可卖该工艺品件，若每件工艺品降价元，则每天可以多卖该工艺品件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设每件工艺品进价为元，售价为元，
根据题意得：
解得：，
，
每件工艺品进价为元，售价为元，
故答案为：进价元每件，标价元每件.
（2）解：设每件工艺品降价元，利润为元，则：
，
当时，，
每件工艺品降价元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润为元．
故答案为：每件工艺品降价元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润为元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件工艺品进价为元，售价为元，根据“ 按标价的九折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获得利润相等 ”列出方程，再求解即可；
（2）设每件工艺品降价元，利润为元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
24．（2024九上·石鼓期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 °， °．
（2）如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”．
（3）如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，，，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
【答案】（1）140，70
（2）证明：如图：
在中，
为斜边边上的中线，
，
，
，
，
.
，
，
，且
四边形是“等对角四边形”；
（3）解：点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图：
平分，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵，，
∴，
，，
，
，即，
，
，
，
；
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：四边形是“等对角四边形”，，
，
，
故答案为：140，70；
【分析】（1）利用“ 等对角四边形 ”直接可得，再利用四边形的内角和求出∠C的度数即可；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，且，即可证出四边形是“等对角四边形”；
（3）点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，先证出，可得，即，求出，利用勾股定理求出CE的长，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
25．（2024九上·石鼓期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可得：，
令，得：，
解得：，，
令，得，
∴，，．
故答案为：，，.
（2）解：当时，四边形是平行四边形，
∵点与点关于轴对称，
∴点，，
∴直线为，
由题可得，，
则，
解得，（舍去），
∴当时，四边形是平行四边形．
（3）解：①当时，有，
即
解得：，（舍去），
∴；
②当时，有，
即
解得：，，
∴有，；
综上所述：点的坐标为，，．
故答案为：存在，点的坐标为，，.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出y和x的值，即可得到点A、B、C的坐标；
（2）根据题意可得，，再列出方程，求出m的值即可；
（3）分类讨论：①当时，有，②当时，有，再分别列出方程求解即可.
