2024—2025学年上学期阶段性评价卷一
九年级数学（人教版）
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
3．下列二次函数：①，②，③，按抛物线开口从大到小排列正确的是（ ）
A．③①② B．②③① C．②①③ D．③②①
4．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数图象经过点 D．当时，随的增大而减小
7．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
8．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．某直播间对一批成本价为40元/捆的温县铁棍山药进行直播销售，如果按60元/捆销售，每小时可卖出2000捆．通过市场调查发现每捆温县铁棍山药的售价每降低1元，每小时销售量增加200捆．若每小时利润保持不变，直播间想尽快销售完这批山药，每捆的售价应定为（ ）
A．48元 B．50元 C．53元 D．60元
10．如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发向终点以每秒2个单位长度的速度移动，两点同时出发，其中一点先到达终点时，两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ）
A．1秒 B．4秒 C．6秒 D．1秒或4秒
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．一元二次方程化为一般形式是______．
12．若点，都在抛物线上，则线段的长为______．
13．2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是228万元，设营业额每天的平均增长率为，那么可列出的方程是______．
14．已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是______．
15．已知分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）； （2）（用公式法解）．
17．（8分）已知关于的一元二次方程，其中满足，求满足条件的一元二次方程．
18．（9分）如图，已知二次函数的图象经过点，．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
19．（9分）小袁作为大学生返乡的新农人，致力于科技种菜．如图是小袁要修建的一个长方形蔬菜大棚，蔬菜大棚的一边靠墙，墙长22m，其余三边用竹篱笆围，竹篱笆的总长度为45m，围成的长方形蔬菜大棚四周没有空隙．
（1）若围成的蔬菜大棚的面积为，则蔬菜大棚的长和宽各应为多少米？
（2）围成的蔬菜大棚的面积能达到吗？如果能，写出计算过程；如果不能，说明理由．
20．（9分）阅读材料，解决问题：
材料1 若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2 已知实数满足，，且，所以是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，．
（1）一元二次方程的两个根为，则______，______；
（2）已知实数满足，，且，求的值．
21．（10分）已知二次函数．
（1）用配方法将解析式化为的形式；
（2）已知二次函数中的满足下表，求的值；
… 0 1 2 3 …
… 3 …
（3）结合（2）中所给的表格，在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象．
22．（10分）洛阳瀛洲大桥（图1）是一座飞鸟式倒三角形抛物线拱券桥，是一座通行兼景观大桥，主桥拱的创意源于洛阳八大景之一的“天津晓月”，整体景观如水上升明月。如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，桥拱的跨度为120m，桥拱的最大高度为25m．以为原点，线段所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，构建平面直角坐标系．
（1）求主桥拱所在抛物线的表达式；
（2）如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为360元，求图中所有景观灯的铺设成本．
23．（10分）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为______；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出的值．
2024—2025学年上学期阶段性评价卷一
九年级数学（人教版）参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．B 2．D 3．D 4．B
5．C 6．C 7．A 8．B
9．B 10．A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11． 12．4 13．
14．或 15．5或6
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解：（1）移项得．
由此可得，
，．
（2），，．
．
方程有两个不等的实数根
，
即，．
17．解：由题意得，，．
解得，，．
满足条件的一元二次方程为或．
18．解：二次函数图象经过点，，
，解得
该二次函数的表达式为．
抛物线的对称轴为．
将代入得．
该二次函数图象的顶点坐标为．
19．解：（1）设蔬菜大棚的宽为，则长为m，
根据题意得，
解得，．
当时，，符命题意；
当时，（舍去）．
蔬菜大棚的长为20m，宽为．
（2）不能．理由如下：
设蔬菜大棚的宽为，则长为，
根据题意得，
整理得．
．
方程没有实数根．
围成的蔬菜大棚面积不能达到．
20．解：（1）10 6
（2）实数满足，，
是方程的两个根．
，．
．
21．解：（1）．
（2）将代入，得，
的值为．
（3）描点、连线，作图如下：
22．解：（1）根据题意可知，顶点，，
设主桥拱所在抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得．
主桥拱所在抛物线的表达式为．
（2）．
当时，；
当时，；
当时，；
由对称性得，当时，；当时，．
5根杆状景观灯的总长度为．
．
答：图中所有景观灯的铺设成本为35000元．
23．解：（1）
（2）方程是“快乐方程”，
是完全平方数．
，
．
或．
或（舍去）．
方程为．
则．
故的值是0，该方程的“快乐数”是．
（3）的值为3．
