2024-2025 学年第一学期 10 月六校联合调研试题
高二数学
本试卷共 4页，19题．全卷满分 150分．考试用时 120分钟．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求.
1．已知复数 z满足 (1 2i)z 3 4i，则 | z | ( )
A． 3 B． 5 C．3 D．5
2．设 a为实数，已知直线 l1：ax 3y 2 0，l2：6x a 3 y 4 0，若 l1 //l2，则a ( )
A. 6 B. -3 C. 6或-3 D. -6或 3
3 x x
2 y2
．已知焦点在 轴上的椭圆 1的焦距为 6，则实数 m等于 ( )
m 3
3
A. B. 21 C. 12 D.
4 12 6 34
cos
2 π
4 ．已知 tan sin( ) ，则 4
( )
4
A． 3 B． 3 C． 3 D．3
5. 设直线 x ay 2 0 2与圆C : x2 y 2 16相交于 A，B两点，且 ABC的面积为 8，则
a ( )
A. 2 B. 1 C.1 D. 2
6．已知M 为直线 l : 2x 3y 1 0上的动点，点 P满足MP 2, 4 ，则点 P的轨迹方程为 ( )
3x 2y 9 0 (x 2)2 (y 4)2 49A． B．
13
2x 3y 9 0 (x 2)2 (y 4)2 49C． D．
13
7．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水， AB 8,A1B1 2，图 1中水面高度
1 2
恰好为棱台高度的 ，图 2中水面高度为棱台高度的 ，若图 1和图 2中纯净水的体积分别
2 3
V
为V1,V
1
2 ，则 V ( )2
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABLQQEoggoABAAAAhCAQ1yCAOQkhGAAagOhBAEsAAASANABAA=}#}
2 6 287 387
A． B． C． D．
3 5 208 208
2 2
8 x y．关于椭圆有如下结论：“过椭圆 1 a b 0 上一点 P x0 , y2 2 0 作该椭圆的切线，a b
x x y y x2 y2
切线方程为 0 02 2 1 .”设椭圆C： 2 2 1 a b 0 的左焦点为 F，右顶点为 A，过a b a b
F且垂直于 x轴的直线与 C的一个交点为 M，过 M作椭圆的切线 l，若切线 l的斜率 k1与直
线 AM的斜率 k2 满足 k1 2k2 0，则椭圆 C的离心率为 ( )
1 2
A B 3 C D 2． ． ． ．
3 3 3 2
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错
的得 0分.
9．国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛．赛前为
了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，
得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是 ( )
a
A． a= 0.025
B．高一年级抽测成绩的众数为 75
C．高二年级抽测成绩的 70百分位数为 87
D．估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分
10．已知m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A．若 / / ，m / / ， n ，则m n B．若 / / ，m ， n ，则m // n
C．若m ，n / / ，m // n，则 D．若 ，m ， n ，则m n
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABLQQEoggoABAAAAhCAQ1yCAOQkhGAAagOhBAEsAAASANABAA=}#}
11．已知圆 C： (x 2)2 y2 4 ，以下四个命题表述正确的是 ( )
A．若圆 x2 y2 10x 8 y m 0与圆 C恰有 3条公切线，则 m=16
B．圆 x2 y2 2y 0与圆 C的公共弦所在直线为 2x y 0
C．直线 (2m 1)x (3m 2)y 5m 3 0与圆 C恒有两个公共点
D．点 P为 y轴上一个动点，过点 P作圆 C的两条切线，切点分别为 A，B，且 A，B的
中点为 M，若定点 N（5，3），则 MN的最大值为 6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.请把答案直接填写在答题
卡相应位置上.
12．从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍
数的概率为 .
2 2
13. 已知 P x y为椭圆 C： + 1上的点，A(1，0)， 则线段 PA长度的最小值为 .
9 4
14．已知 A 0,2 ，B 1,0 ，C t,0 ，点 D是直线 AC上的动点，若 AD≤ 3BD恒成立，则
正整数 t的最小值是 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．（本小题满分 13分）
记 ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，且 bsin2A＝asinB．
(1)求角 A；
(2)若a 7， ABC 3 3的面积为 ，求VABC的周长.
2
16．（本小题满分 15分）
如图，圆柱OO1中， PA是一条母线， AB是底面一条直径，C是 AB的中点.
(1)证明：平面 PAC 平面 PBC ；
(2)若 PA 2AB 4，求二面角 A PB C的余弦值.
试卷第 3页，共 4页
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17．（本小题满分 15分）
某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，
比赛中只有 A，B两道题目，比赛按先 A题后 B题的答题顺序各答 1次，答对 A题得 2分，
答对 B题得 3分，答错得 0分.已知学生甲答对 A题的概率为 p，答对 B题的概率为 q，其
中 0 p 1，0 q 1
3 2
，学生乙答对 A题的概率为 ，答对 B题的概率为 ，且甲乙各自在
4 3
1 1
答 A，B两题的结果互不影响.已知甲比赛后得 5分的概率为 ，得 3分的概率为 .
3 6
（1）求 p，q的值；
（2）求比赛后，甲乙总得分不低于 8分的概率.
18．（本小题满分 17分）
已知圆 M过点 A(3,3)，圆心 M在直线 2x y 5 0上，且直线 x 2y 5 0与圆 M相切.
（1）求圆 M的方程；
（2）过点D(0, 2)的直线 l交圆 M于 A，B两点.若 A为线段 DB的中点，求直线 l的方程.
19．（本小题满分 17分）
C : x
2 y2 1
已知椭圆 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，A、A 分别为椭圆C的左、右顶点，F 、a b 2 1 2 1
F2分别为椭圆C的左、右焦点， A1F2 6．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设与 x轴不垂直的直线 l交椭圆C于 P、Q两点（ P、Q在 x轴的两侧），记直线 A1P，A2P，
A2Q， A1Q的斜率分别为 k1， k2， k3， k4 ．
（i）求 k1k2的值；
5
（ii）若 k1 k4 k2 k3 ，问直线 PQ是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，3
说明理由.
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABLQQEoggoABAAAAhCAQ1yCAOQkhGAAagOhBAEsAAASANABAA=}#}2024-2025 学年第一学期 10 月六校联合调研参考答案及评分标准
高二数学
一、单项选择题
1、B 2、A 3、C 4、B 5、C 6、C 7、D 8、C
二、多项选择题
9、ABD 10、AC 11、BCD
三、填空题
12 2 4 5、 13、 14、4
5 5
四、解答题
15解：(1)因为 bsin2A＝asinB，所以 2bsinAcosA＝asinB．
根据正弦定理，得 2sinBsinAcosA＝sinAsinB， ……………… 2分
因为 sinB≠0，sinA≠0，所以 cosA＝1 ． ………………… 4分
2
又 A∈(0，π)，所以 A＝π． ………………… 6分
3
1 1 3 3 3
（2）在VABC中，由已知 S ABC bc sin A bc , bc 6， ············ 8分2 2 2 2
π
因为 A ，
3 a 7
2 1
由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cos A，即7 b c 2bc 2bc ，··············10分
2
即7 b c 2 3bc，又b 0,c 0所以b c 5 .
所以VABC的周长周长为5 7 .···································································· 13分
16解：
（1）证明：因为 PA是一条母线，所以 PA 平面 ABC，
而 BC 平面 ABC，则 PA BC，··································································· 2分
因为 AB是底面一条直径，C是 AB的中点，所以 ACB 90 ，即 AC BC，·········· 4分
又 PA, AC 平面 PAC且PA AC A，
所以 BC 平面 PAC，而 BC 平面 PBC，则平面 PAC 平面 PBC .·······················6分
试卷第 1页，共 5页
{#{QQABLQQEoggoABAAAAhCAQ1yCAOQkhGAAagOhBAEsAAASANABAA=}#}
（2）设PA 2AB 4，则 PB 2 5，
因为 C是 AB的中点，O为底面圆心，所以CO 平面PAB，
作OE PB，交 PB于点 E连接 CE，
由OE PB，CE PB可知， CEO是二面角 A PB C的平面角.·······················10分
则 PB OE PA BO OE 4 2 5 3 5，即 ，在直角 COE中，CE OC 2 OE 2 .
2 5 5 5
2 5
所以 cos
2
CEO 5 .
3 5 3
5
2
故二面角 A PB C的余弦值为 .··································································15分
3
pq 1
17 3解：（1）由题意得 ，·······························································4分
1
(1 p)q
6
2 1
解得 p ,q .··························································································6分
3 2
(2)比赛结束后，甲、乙个人得分可能为 0，2，3，5.
记甲得分为 i分的事件为Ci i 0,2,3,5 ，乙得分为 i分的事件为Di i 0,2,3,5 ，
Ci ,Di相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于 8分为事件 E，
则 E C3D5 C5D3 C5D5 ，且C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥.
1
易得 P（C3）= ，························································································8分6
(1 3) 2 1 1 3 2 1P（D3）= ，P（C4 3 6 5
）= ，P（D
3 5
）= ，
4 3 2
所以 P(E) P(C3D5 C5D3 C5D5 ) P(C3D5 ) P(C5D3 ) P(C5D5 )
1 1 1 1 1 1 11
= .
6 2 3 6 3 2 36
11
所以两轮投篮后，甲总得分不低于 8分的概率为 .········································· 15分
36
试卷第 2页，共 5页
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18解：（1）法 1：（待定系数法）
2 2
设圆M的方程为 x a y b r 2 ，
2 2
因为圆 M过点 A(3,3)，所以 3 a 3 b r 2①，······································ 2分
又因为圆心 M在直线 2x y 5 0上，所以 2a b 5 0②，······························· 4分
a 2b 5
直线 x 2y 5 0与圆M相切，得到 r ③，·······································6分
5
由①②③解得： a 2， b 1， r 5 因此圆 M的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5 .······· 7分
法 2：（几何性质）
因为直线 2x y 5 0与直线 x 2y 5 0垂直，
2x y 5 0 x 1
又因为圆心 M在直线 2x y 5 0上，联立方程 ，解得 ········· 4分
x 2y 5 0
y 3
设两直线的交点为 B(1,3)，由圆的几何性质，点 B(1,3)在圆上，且为直线与圆的切点，
又因为圆M过点 A(3,3)，且所以圆心M在直线 x 2上，又圆心M也在直线 2x y 5 0上，
x 2 x 2
联立方程 ，解得 ，故圆心M (2,1)，····································6分
2x y 5 0 y 1
所以半径 r AM 5，因此圆M的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5 .······················ 7分
（2）设 A(x, y)，因为 A为线段 BD的中点，所以 B(2x, 2y 2)，
24
(x 2)2 (y 1)2 5 x 0 x
因为 A，B在圆 M 13上，所以 2 2 ，解得 或 ········12分
(2x 2) (2y 1) 5 y 0
y -16
13
当 A(0,0)时，直线 l的方程为 x 0；···························································· 14分
24 16 5
当 A( ,- )时，故直线 l的方程为 y x 2，即5x 12y 24 0 .·················· 16分
13 13 12
综上，直线 l的方程为 x 0或5x 12y 24 0 .··············································· 17分
试卷第 3页，共 5页
{#{QQABLQQEoggoABAAAAhCAQ1yCAOQkhGAAagOhBAEsAAASANABAA=}#}
x2 2 1 c 119 y解：（1）由于椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，故 ，a b 2 a 2
又 A1F2 a c 6，所以 a 4， c 2，b2 a2 c2 12，
C x
2 y2
所以椭圆 的方程为 1 .······································································4分
16 12
（2）（i）设 l与 x轴交点为D，由于直线 l交椭圆Ｃ于 P、Q两点（ P、Q在 x轴的两侧），
故直线 l的的斜率不为0，直线 l的方程为 x my t，
x my t
联立 x2 y2 ，则 (3t 2 4) y2 6mty 3m2 48 0 ，
1 16 12
则 48(12t 2 m2 16) 0 ，
2
设 P(x1, y )
6mt 3m 48
1 ，Q(x2 , y2 )，则 y1 y2 2 ， y1y2 2 ，······························ 6分3t 4 3t 4
又 A1( 4,0)， A2(4,0)，
k k k k y1 y1 y
2 2
1 y1 3
1 2 PA PA 2 4 故 1 2 x 4 x 4 x 16 2 4，·····································10分1 1 1 y
3 1
（ii 3）由（i）得 k3k4 kQA k ．1 QA2 4
5 3 3 5 3 k k 5
因为 k1 k4 k k ，则 (k2 k ) 2 32 3 4k 4k 3 3 ， (k3 2
k3 )．
2 3 4 k2k3 3
9 9
又直线 l交与 x轴不垂直可得 k2 k3 0，所以 k2k3 ，即 k20 PA
kQA ．········13分2 2 20
y1 y 2 9所以 ，20y1y2 9(ty1 m 4)(ty2 m 4) 0x 4 x ，1 2 4 20
2
于是 (9t 20)y1y2 9t(m 4)(y1 y2 ) 9(m 4)
2 0，
2
(9t 2 20) 3m 48 2 9t(m
6mt
4) 22 9(m 4) 0 ，3t 4 3t 4
整理得m2 3m 4 0，解得m 1或m 4，·················································· 15分
试卷第 4页，共 5页
{#{QQABLQQEoggoABAAAAhCAQ1yCAOQkhGAAagOhBAEsAAASANABAA=}#}
3m2 48
因为 P、Q在 x轴的两侧，所以 y1y2 2 0， 4 m 4，························ 16分3t 4
又m 1时，直线 l与椭圆C有两个不同交点，
因此m 1，直线 l恒过点D( 1,0) .································································ 17分
试卷第 5页，共 5页
{#{QQABLQQEoggoABAAAAhCAQ1yCAOQkhGAAagOhBAEsAAASANABAA=}#}
