4.5 函数模型及其应用—高一数学湘教版（2019）必修一课时作业
一、单选题
1．图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（ ）
A． B．
C． D．
2．周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y关于x的函数解析式为
A．，
B．
C．，
D．
3．函数的零点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．或
6．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：）
A．48个月 B．52个月 C．64个月 D．120个月
8．关于的方程的实数解为 ，则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为，对应的五分记录数据记为，现有两个函数模型：①；②．根据如图所示的标准对数视力表中的数据,下列结论中正确的是（ ）
(参考数据:10-0.2≈0.6,10-0.15≈0.7,10-0.1≈0.8,10-0.05≈0.9)
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
10．已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为
B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称
D．在区间上共有个实根
11．设，则下列选项中正确的有（ ）
A．若有两个不同的实数解，则
B．若有三个不同的实数解，则
C．的解集是
D．的解集是
三、填空题
12．函数有四个零点，则的取值范围为 .
13．已知与分别是函数与的零点，则的值为 ．
14．已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个.
四、解答题
15．求下列函数的零点．
(1)；
(2)；
(3)．
16．下表是中国近年来人口数据（不包括香港、澳门特别行政区和台湾省）：
年份 2013 2014 2015 2016
人口数 13.61亿 13.68亿 13.75亿 13.83亿
(1)在平面直角坐标系内标出这四个点，再把这些点连接成线；
(2)选择其中合适的两个点，建立一次函数模拟，用模拟函数预测2017年中国人口数；
(3)能否用“更好”的直线来模拟这组数据的变化？也就是说，能否确定，的值，使式子的值最小？（按如下步骤进行预测）
①化简S，使之成为字母的二次三项式；
②当取何值时（设为），二次三项式S取最小值（设为），这里和都应该是含字母的式子，且是字母的二次三项式；
③求的值，使取最小值；
④求出对应于上述的值；
⑤用一次函数模拟数据的变化，用模拟函数预测2017年中国人口数．
(4)把所得到的两个预测数据和2017年中国实际人口数进行比较．
17．已知函数，.
(1)当时，，则不等式的解集；
(2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.
18．已知函数．
(1)求值：；
(2)判断函数的单调性，并证明你的结论：
(3)求证有且仅有两个零点并求的值．
19．求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最值可以利用配方法求值域，例如：，所以函数的最小值为－1，当且仅当时取得最小值．
(1)利用配方法求函数的最小值；
(2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买x吨，运费为4万元每次，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值应为多少？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A C B C BD BCD
题号 11
答案 BC
1．D
【解题思路】根据直线的纵截距表示成本，倾斜角与门票价格的关系判断.
解：对于A，当时，虚线值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误；
对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，B错误；
对于C，当时， 值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误；
对于D，当时，虚线值变大，说明成本见减小，又因为虚线的倾斜角变大，
说明提高了门票的价格，符合题意，D正确，
故选:D.
2．C
【解题思路】根据已知条件，分别表示出和，然后表示出图形的面积，然后根据题意，列出不等关系表示出x的取值范围.
解：由题意知AB＝2x，，于是，
因此，，
由，解得.
故所求函数解析式为，.
故选：C.
3．B
【解题思路】令，解出即可.
解：因为，
令，解得，
即函数的零点为1.
故选：B.
4．C
【解题思路】根据二分法即可判断.
解：根据,
则由二分法可得近似解所在的区间为.
故选：C.
5．A
【解题思路】分和，结合零点存在性定理求得充要条件，然后即可判断答案.
解：当时，由得；
当，即时，
由解得，函数在上有且只有一个零点；
当，即时，若函数在上有且只有一个零点，
则，即，解得.
当时，的零点为；
当时，得，
此时由解得或.
综上，函数在上有且只有一个零点，或.
故是“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件.
故选：A．
6．C
【解题思路】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.
解：易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且，
，所以存在唯一零点，且.
故选：C.
7．B
【解题思路】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可.
解：由题意可得，解得，
所以，
这种垃圾完全分解，即当时，有，即，
解得.
故选：B
8．C
【解题思路】根据方程的根与函数零点的关系以及零点存在性定理即可解出．
解：设，所以方程的实数解即为函数的零点，易知函数在上单调递增，而，，，即有，故所在的区间是．
故选：C．
9．BD
【解题思路】根据所给数据结合对数的运算可确定对应函数模型②，再根据自变量的值求函数值，或者函数值求出自变量的值即可求解.
解：将代入①；②，
分别可得，
所以标准对数视力表对应函数模型②，故A错误，B正确；
令，解得，所以小明视力的小数记录数据为，故C错误；
代入，故D正确，
故选；BD.
10．BCD
【解题思路】首先利用赋值，确定，再根据周期函数的性质确定函数的周期，判断A；并利用周期和条件判断B；结合条件和对称性的定义，即可判断C；根据一个周期的零点个数，结合周期，即可判断D.
解：令，则，则，
因为函数是R上的偶函数，则，
所以，即，
那么，
所以函数的一个周期为，故A错误；
因为函数在区间上是增函数，且为偶函数，则在区间为减函数，
函数的周期为12，则函数在区间为减函数，故B正确；
因为函数满足，所以函数关于对称，故C正确；
根据以上可知，，且在区间上是增函数，为减函数，
所以函数在一个周期内有2个零点，，
即在区间有168个周期，其中包含336个零点，在区间中，
其中，所以在区间有个零点，
则在区间有个零点，故D正确.
故选：BCD
11．BC
【解题思路】根据函数解析式画出函数图象，再数形结合即可判断.
解：因为，
当时，令，解得，令，
即，解得或，
令，即，解得；
当时，显然，令，即，解得，
令，即，解得；
所以的图象如下所示：
对于A：若有两个不同的实数解，即与的图象有两个交点，
由图可知，即，故A错误；
对于B：若有三个不同的实数解，即与的图象有三个交点，
由图可知，即，故B正确；
对于C：由图可得的解集是，故C正确；
对于D：令，则不等式，即，
则，即，
当时解得，
当时由图可得或，
综上可得的解集是，故D错误；
故选：BC
【解题反思】关键点解题反思：本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合判断，对于选项D中的复合不等式，经常采用换元法，结合图象可解决.
12．
【解题思路】函数零点转化为的解，即函数与直线的交点的横坐标，由数形结合思想可得解．
解：由得，作函数的图象和直线，如图，
函数在和上递减，在和上递增，，由图象知当时，的图象和直线有四个交点．即有4个零点．
故答案为：．
【解题反思】本题考查函数的零点个数，解题时把问题转化为函数图象与直线交点个数，通过数形结合思想求解．
13．
【解题思路】结合反函数的性质以及函数与零点的关系计算即可得.
解：依题意，设，，因为与互为反函数，
其图象关于对称，如图所示，联立，解得，
所以，.
故答案为：.
14．4
【解题思路】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解.
解：函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.
故答案为：4.
15．(1)4
(2)，4
(3)
【解题思路】（1）根据零点概念解指数方程即可；
（2）根据零点概率解一元二次方程即可；
（3）根据零点概念解对数方程即可.
解：（1）令，即，故，即的零点为4.
（2）令，即，解得或，故的零点为.
（3）令，即，解得，故的零点为.
16．(1)图象见解析；
(2)选择见解析，预测2017年中国人口数为13.89亿；
(3)①；②，；③；④；⑤，预测2017年中国人口数13.9亿.
(4)答案见解析；
【解题思路】（1）根据所给数据，画出图象即可；
（2）选择两组数据，代入求解，即可求得模拟直线方程，进而可预测2017年人口数；
（3）根据题意及数据，逐一求解各个参数，可得模拟方程，进而可预测2017年人口数；
（4）查阅2017年人数，解题思路比较，即可得答案.
解：（1）如图所示：
（2）不妨选择前两组数据建立一次函数模拟，设模拟方程为，
令2013年对应x为1，则2014年对应x为2，选取两点进行模拟，
代入可得，
解得，所以，
2017年，即时，，
故预测2017年中国人口数为亿（选其他数据，计算合理也正确）
（3）①
②所以当时，S有最小值，
所以，
③由②可得当时，有最小值，即，
④当时，，
⑤，2017年对应x=5，代入可得，
所以预测2017年中国人口数为13.9亿.
（4）查阅可得2017人口总数为13.9亿，比较可得第二种方法算的更准确，误差更小.
【解题反思】解题的关键是读懂题意，根据所给数据，代入求解，考查解题思路理解，计算求值的能力，计算难度大，属难题.
17．(1)
(2)
【解题思路】（1）根据题意得到，然后结合函数的单调性解不等式即可；
（2）先令，再根据，得到，再将有四个不同的实根可转化为有两个不等正根，再根据根与系数的关系列出不等式即可解出实数的取值范围.
解：（1）根据题意，当时，所以.
令，解得，
所以的定义域为，
因为 在单调递增，在单调递减，
函数为增函数，
根据复合函数的单调性可知在单调递增，在单调递减，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
（2）令，因为，
所以，当且仅当时等号成立.
因为，所以，
即有四个不同的实根，
令，可知为偶函数，图象关于轴对称，
所以有四个不同的实根可转化为有两个不等正根，
所以，即，
由可得，
因为，
即存在，使不等式成立，
故，即，解得或，
故实数的取值范围为.
18．(1)0
(2)在和上单调递增，证明见解析；
(3)证明见解析；．
【解题思路】（1）计算即可发现和的规律；
（2）利用作差法即可判定其单调性；
（3）先根据单调性及零点存在性定理判定有两个零点，再由（1）判定两个零点的关系.
解：（1）由解析式可得定义域为：，有
∴
（2）函数的定义域为，记为区间，
在和上单调递增，
证明如下：
设，，则
①当时，，
∴，于是，
∴在上单调递增；
②当时，同理可得，，
即，
∴在上单调递增；
故在和上单调递增，
（3）由于在上单调递增，且，，
∴在上有且仅有一个零点；
由于在上单调递增，且，，
∴在上有且仅有一个零点．
因此有且仅有两个零点、．
由（1）知，
又∵，∴，
不妨设，则∴是在上的零点，而是在上的唯一零点，∴．
【解题反思】本题考查函数的综合，属于压轴题.关键在于发现两个互为倒数的自变量其函数值的关系，以及零点存在性定理的使用.
19．(1)4；
(2)20.
【解题思路】（1）利用配方法求函数的最小值；
（2）利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合配方法求最小值，即可求得相应的x值.
解：（1）由，则，
所以函数的最小值为4，当且仅当即时取得最小值.
（2）一年购买400吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为4万元每次，
一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 元，
由，有，
当且仅当 即吨时，等号成立，
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
