专题04 有理数的混合运算
一、有理数乘方的概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：1．在中，叫做底数，n叫做指数．
二、有理数乘方的运算
1．正数的任何次幂都是正数；
2．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
3．0的任何正整数次幂都是0；
4．有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【典例1】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）先算乘方，绝对值，再算除法，最后算加减可以解答本题；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题；
（3）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题；
（4）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：原式
．
【方法总结】
有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
（1）．
（2）．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
（1）；
（2）．
3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算
（1）；
（2）．
4．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算：
（1）；
（2）．
5．（23-24七年级上·山东德州·期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
（1）．
（2）．
（3）
7．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
9．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
10．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
11．（23-24六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：
（1）；
（2）．
16．（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算：
（1）；
（2）．
17．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
18．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算：
19．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算：
（1）；
（2）．
20．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：求的值．
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）
专题04 有理数的混合运算
一、有理数乘方的概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：1．在中，叫做底数，n叫做指数．
二、有理数乘方的运算
1．正数的任何次幂都是正数；
2．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
3．0的任何正整数次幂都是0；
4．有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【典例1】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）先算乘方，绝对值，再算除法，最后算加减可以解答本题；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题；
（3）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题；
（4）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：原式
．
【方法总结】
有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
（1）．
（2）．
【思路点拨】
本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方、括号里的减法，再计算乘除，然后去括号计算减法即可，熟练掌握有理数的混合运算、正确计算是解题的关键；
（2）此题考查了有理数的混合运算，计算乘方和除法后，再进行四则混合运算即可．
【解题过程】
（1）解：
．
（2）解：
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
（1）；
（2）；
【思路点拨】
本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
（1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题．
（2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算
（1）；
（2）．
【思路点拨】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先算乘方和括号内的数，再算乘法，最后算加减即可；
（2）根据乘方分配律计算即可．
【解题过程】
（1）解：，
原式
（2）
4．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算加减即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
5．（23-24七年级上·山东德州·期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案；
（2）利用乘法分配律计算即可得出答案；
（3）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
（1）．
（2）．
（3）
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除法法则计算即可．
（3）按照有理数混合运算的顺序，先乘方再乘除最后算加减的顺序进行计算；
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
7．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】
本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可；
（2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；
（3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；
（4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题．
【解题过程】
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
，
．
8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键．
（1）先计算乘方以及乘法，再计算加减法即可；
（2）先计算绝对值和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（3）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（4）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【解题过程】
（1）解：
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
9．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（）利用有理数加减法则计算即可；
（）先把除法转化成乘法运算，然后利用有理数乘法分配律进行计算，最后计算加减法即可；
（）先算括号内的乘方和加法，再算乘除即可；
（）先计算乘方和化简绝对值，再计算乘法，最后计算减法即可；
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
【解题过程】
（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
，
；
（3）解：原式，
，
，
；
（4）解：原式，
，
，
．
10．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【思路点拨】
本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键．
（1）先计算乘除，再计算减法即可；
（2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可；
（3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解；
（4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可；
（5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式=
．
11．（23-24六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）根据交换律和有理数的加减混合运算法则进行计算即可；
（2）先利用乘法分配律进行计算，再根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可；
（3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；
（4）先计算括号里的，再计算乘方，然后计算乘法，最后再计算有理数的减法即可．
【解题过程】
（1）解：原式=
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）．
解：原式
．
12．（22-23七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算．
（1）将除法变为乘法，再运用乘法的分配律计算；
（2）按照有理数混合运算的顺序，先乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的；
（3）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；
（4）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；
（5）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；
（6）先计算乘方，绝对值，再算乘除，最后计算加减即可．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
13．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
（1）先化简，再计算加减法；
（2）按从左到右的顺序进行计算；
（3）（4）（5）根据乘法分配律简便计算；
（6）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
14．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）计算：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
（1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减；
（2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．
【解题过程】
（1）原式
；
（2）原式
．
15．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合计算以及乘方的运算．
（1）先算括号内的和乘方运算，再算乘除，最后加减；
（2）先算括号和乘方，再算乘法，最后加减．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算、求一个数的绝对值：
（1）先分别化简绝对值和乘方运算，再算括号，最后运算乘除，即可作答．
（2）先进行乘方运算，再把除法化为乘法，再进行乘法运算，最后运算加减，即可作答．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【思路点拨】
本题主要考查了有理数混合运算；
（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；
（3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；
（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（6）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；
解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：求的值．
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
（1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；
（2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：根据材料，设①，
将等式两边同时乘以3，则②，
由，得：，
，
；
（2）根据材料，设③，
将等式两边同时乘以④，
由，得：，
,
．
()
