江西省九年级阶段性考试卷
北师大版·数学（一）
说明：
1．范围：上册1.1~2.4．
2．满分：120分，时间：120分钟．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．在菱形中，，菱形的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等
3．用配方法解方程，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点是矩形边上任意一点，点分别是的中点，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．20或28
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若关于的一元二次方程有一根为，则______．
8．用求根公式解方程，求得______．
9．如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，则的度数是______．
10．已知为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则______．
11．如图，在菱形中，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为______．
12．如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解方程：（1）（用配方法解）；
（2）（用因式分解法解）．
14．已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
15．如图，在中，的平分线交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，且，求四边形的面积．
16．如图，已知正方形，点为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，在边上找点，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；
（2）如图2，在边上找点，使得．
17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根相等，请直接写出的值，并解这个方程．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次项系数化为1，得，（第一步）
配方，得，（第二步）
变形，得，（第三步）
开方，得，（第四步）
解得．（第五步）
（1）上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
（2）上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
19．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
20．如图，已知菱形，、是对角线所在直线的两点，且，，连接、、、．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，，求菱形的周长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在中，，过点的直线，点为边上一点，过点作；交直线于点，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）当点在的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若点为的中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
22．阅读材料：
为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程可化为，解得．
当时，无意义，舍去；
当时，，解得；所以原方程的解为．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
六、解答题（本大題共12分）
23．【问题背景】正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质，已知正方形的边长是4，点是对角线上一点．
（1）如图1，求证：；
【数学思考】
（2）①如图2，，，垂足分别为、，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
②如图3，点是的中点，连接，，求的最小值为______；
【类比探究】
（3）如图4，已知菱形的边长为4，，对角线，相交于点，点是上的动点，点是上的动点，连接，，求的最小值．
